Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}$$. Hallar la matriz X que sea solucion de la ecuacion matricial $A\cdot X - B^t = 2C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de B. Justificar la respuesta.

Sea A la matriz siguiente: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & x & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. Se pide, justificando las respuestas: a) Determinar para que valores de x existe la inversa de A. (1 punto) b) Calcular la inversa de A para x=2. (1 punto)

Resolver, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - 3y + z = -1 \\ -3x + 2y + z = -2 \end{cases}$$

Un taller de confeccion fabrica abrigos y cazadoras. Para ello dispone semanalmente de 80 m^2 de tela de forro y 120 m^2 de tela de pano. Un abrigo requiere 1 m^2 de tela de forro y 3 m^2 de tela de pano y una cazadora requiere 2 m^2 de cada una de las telas. Si en cada abrigo gana 80 euros y en cada cazadora 70 euros, calcular, justificando las respuestas: a) El numero de abrigos y de cazadoras que debe confeccionar semanalmente para hacer maximos los beneficios. (1,5 puntos) b) El valor de dichos beneficios maximos. (0,5 puntos)

Un determinado vino tiene un tiempo de crianza en bodega de entre 1 y 4 anos. La graduacion del vino, G(x), en terminos del tiempo de crianza, x, viene dada por la funcion: $$G(x) = x^3 - Ax^2 + 6Bx + 2 \qquad 1 \le x \le 4$$ Determinar, justificando la respuesta, las constantes A y B sabiendo que la maxima graduacion se consigue exactamente a los 2 anos, edad en que el vino alcanza los 22 grados.

El diametro de cierta variedad de manzana oscila entre los 2 y los 5 cm. El precio (en centimos de euro), P(x), que se le paga al agricultor por un kilogramo de estas manzanas viene determinado por su diametro, x, de acuerdo con la siguiente funcion: $$P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 30 \qquad 2 \le x \le 5$$ Determinar para que diametros se alcanzan los precios maximo y minimo de las manzanas. Cuales son estos precios maximo y minimo? Razonar las respuestas.

a) Determinar, razonando la respuesta, el area encerrada por la funcion $f(x) = x^2 + 4x - 5$ y el eje OX entre $x=0$ y $x=2$. (1 punto) b) Determinar, razonando la respuesta, las asintotas de la funcion: $g(x) = \dfrac{x+1}{x^2 + 4x - 5}$ (1 punto)

En una fabrica de vidrios el 25% de las botellas que se producen son grandes, el 40% medianas y el resto pequenas. En un control de calidad, se detecta que el 1% de las botellas grandes, el 2% de las medianas y el 3% de las pequenas son defectuosas. Se pide, razonando la respuesta: a) Calcular la probabilidad de que una botella elegida al azar sea a la vez mediana y defectuosa. (1 punto) b) Calcular la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa. (1 punto)

Se desea conocer la proporcion de clientes que adquiriran un nuevo modelo de telefono movil. Para ello se realiza una encuesta a 300 potenciales clientes de los cuales 60 estan interesados en dicho producto. Hallar un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, para la proporcion de clientes interesados en el nuevo modelo de telefono movil. Razonar la respuesta.

Con objeto de adquirir los embalajes en una panaderia, se realiza un estudio sobre la longitud de las barras de pan. Se sabe que dicha variable tiene distribucion normal con desviacion tipica de 3 cm. Cuantas barras de pan deben ser tomadas para el estudio si se desea obtener un intervalo de confianza para la longitud media de las barras, al nivel de confianza del 95%, con una amplitud de 1 cm? Razonar la respuesta.