Calcular, justificando la respuesta, las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: $$\begin{cases} 3X + 2Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ 2X - 3Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 12 \end{pmatrix} \end{cases}$$

Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$. Se pide, justificando las respuestas: a) Determinar para que valores de x no existe la inversa de A. (0,5 puntos) b) Para x=2, resuelve la ecuacion matricial $A\cdot X - B = C$. (1,5 puntos)

Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ y & -3 \end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$$ e $$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ la matriz identidad de orden 2, calcular, justificando la respuesta, los valores de x, y, z para que se verifique que $A^t \cdot B = C - z\cdot I$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de A.

Un taller tapiza butacas y sillones. Para tapizar una butaca se necesitan 2 m^2 de tela con un beneficio de 40 euros, mientras que para tapizar un sillon se necesitan 4 m^2 de tela con un beneficio de 100 euros. El taller dispone diariamente de un maximo de 100 m^2 de tela y no puede tapizar mas de 40 butacas ni mas de 20 sillones. Calcular, justificando la respuesta: a) El numero de butacas y de sillones que deben tapizar diariamente para obtener unos beneficios maximos. (1,5 puntos) b) El valor de dichos beneficios maximos. (0,5 puntos)

El crecimiento (en cm) de una variedad de trigo, C(x), en funcion de la cantidad de fertilizante (en gramos por metro cuadrado) utilizada, x, viene dado por la funcion: $$C(x) = 2x^3 - Ax^2 + Bx + 35 \qquad 0 \le x \le 4$$ Determinar las constantes A y B sabiendo que el crecimiento alcanza su minimo con una dosis de 3 gramos por metro cuadrado y que para esta dosis las plantas de trigo crecen 8 cm.

Las ventas de un producto (en miles de euros), V(t), en los 6 primeros anos desde que se lanzo al mercado, evolucionan de acuerdo con la siguiente funcion: $$V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100 \qquad 0 \le t \le 6$$ Se pide determinar, razonando las respuestas: a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 anos. (1,5 puntos) b) Representar graficamente la funcion V(t). (0,5 puntos)

a) Determinar el area encerrada por la funcion $f(x) = x^2 - 7x + 6$ y el eje OX entre $x=0$ y $x=5$. (1 punto) b) Determinar, razonando la respuesta, las asintotas de la funcion: $g(x) = \dfrac{4x^2 + 1}{2(x^2 - 7x + 6)}$ (1 punto)

Una empresa constructora utiliza tres tipos de piedra en un bloque de edificios: granito (50%), marmol (40%) y artificial (10%). El 10% del granito, el 5% del marmol y el 1% de la artificial presenta grietas por lo que no puede ser instalado. Se pide, razonando la respuesta: a) Calcular la probabilidad de que, al encargar una piedra, esta presente grietas. (1 punto) b) Calcular la probabilidad de que una piedra, que sabemos que presenta grietas, sea de marmol. (1 punto)

En un estudio sobre la practica del deporte en la universidad, se pregunta a 150 universitarios de los cuales 120 afirman practicar algun deporte. Calcular, razonando la respuesta, un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95% para la proporcion de universitarios que practican deporte. Razona la respuesta.

La calificacion que obtienen los candidatos que se presentan a una oposicion sigue una distribucion normal con desviacion tipica 1.2 puntos. Si se quiere realizar un estudio sobre la dificultad de las pruebas en dicha oposicion, cuantos candidatos deben seleccionarse para obtener un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, para la calificacion media que tenga una longitud de 0.5 puntos? Razona la respuesta.