El servicio de atención al cliente de una compañía telefónica decide realizar un estudio sobre el tipo de reclamaciones que recibe. Responde, razonadamente, a las siguientes cuestiones que surgen:
A1. En este servicio se reciben 1.500 llamadas al día, de las cuales 700 son consultas técnicas, 600 consultas financieras y el resto son reclamaciones. El cliente queda satisfecho en el 50% de las consultas financieras, en el 40% de las consultas técnicas y en el 10% de las reclamaciones. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que un cliente presente una reclamación y no quede satisfecho con el resultado de la misma.
b) Calcular la probabilidad de que un cliente atendido por dicho servicio quede satisfecho con la atención recibida.

A2. De las 200 reclamaciones recibidas telefónicamente cierto día, se resolvieron favorablemente para el cliente 64. Se pide, justificando las respuestas:
a) Hallar un intervalo de confianza del 95% para la proporción de reclamaciones telefónicas favorables al cliente.
b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el porcentaje de reclamaciones favorables al cliente supera el 20%?

B1. Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 5x & 4 \\ -x & 0 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 3 & y \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$, $$C = \begin{pmatrix} z & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ e $$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ la matriz identidad de orden 2.
a) Calcular, justificando la respuesta, los valores de $x$, $y$ y $z$ para que se verifique la igualdad $I + A^t = B \cdot C$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.
b) Tomando $x = 1$, determinar los valores de $y$ para los que $A \cdot B$ tiene inversa.

B2. Una granja produce dos tipos de cultivos: maíz y trigo, generando un beneficio de 50 euros por hectárea de maíz y 40 euros por hectárea de trigo. La granja dispone de 120 hectáreas para cultivar y de 300 depósitos de agua. Cada hectárea de maíz requiere 3 depósitos de agua y cada hectárea de trigo requiere 2. Además, la granja debe dedicar al menos 20 hectáreas al maíz y 15 hectáreas al trigo. Determinar el número de hectáreas que se deben dedicar a cada cultivo para obtener los beneficios máximos y calcular dichos beneficios.

C1. La temperatura de una bodega oscila entre los 6 y los 14 grados y la cantidad de vino que se estropea, $C(x)$ en litros, depende de su temperatura de conservación, $x$ en grados, de acuerdo con la siguiente función:
$$C(x) = 1000 - 231x + 27x^2 - x^3 \quad 6 \leq x \leq 15$$
Determinar, razonando las respuestas:
a) El crecimiento y decrecimiento de la cantidad de vino que se estropea dependiendo de la temperatura de conservación.
b) Las temperaturas de la bodega que hacen que se estropee la cantidad máxima y mínima de vino y los valores de estas cantidades.
c) La diferencia, en cuanto a cantidad de vino estropeada, entre mantener la bodega a 8 y a 10 grados.

C2. Consideramos la parábola $p(x) = Ax^2 + Bx - 30$. Se pide:
a) Determinar los valores de $A$ y $B$ para que el valor de la parábola en $x = 1$ sea $-32$ y su derivada en $x = 2$ sea igual a 4.
b) Para $A = 1$ y $B = -1$, hallar el área encerrada por $p(x)$ y el eje OX entre $x = 5$ y $x = 7$.