Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Ordinaria 2020

Consideramos as matrices
$$A = \begin{pmatrix} a & a & 1 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b & -b & 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} c & -3 & 1 \\ c & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
a) Calcule as matrices $A + B$ e $3C - B$.
b) Exprese en forma matricial o sistema de ecuacions que se obten ao formular $A + B = 3C - B$ e resolvao.

Un fabricante de sistemas de iluminacion quere producir focos de tecnoloxia led en dous modelos distintos: A e B. Para desenar a estratexia de producion diaria tera en conta que se produciran polo menos 50 focos do modelo A, que o numero de focos do modelo B non superara as 300 unidades e que se produciran polo menos tantos focos do modelo B como do modelo A. Ademais, a producion total non superara as 500 unidades diarias.
a) Formule o sistema de inecuacions asociado ao problema.
b) Represente graficamente a rexion factible e calcule os seus vertices.
c) Se o beneficio obtido por cada foco do modelo A e de 60 euros e por cada foco do modelo B e de 40 euros, cantos focos de cada modelo debe producir diariamente para maximizar o beneficio? A canto ascende o beneficio maximo?

O numero de persoas (en miles) que visitan cada ano un parque tematico ven dado pola funcion
$$P(t) = \frac{180t}{t^2 + 9}, \quad t \geq 0$$
onde $t$ e o tempo transcorrido en anos desde a sua apertura no ano 2010 ($t = 0$).
a) Determine os periodos de crecemento e decrecemento do numero de visitantes.
b) En que ano recibiu o maior numero de visitantes? A canto ascenden? Razoe as respostas.
c) A partir de que ano o numero de visitantes sera inferior a 18.000 persoas? Que ocorrera co numero de visitantes co paso do tempo? Razoe as respostas.

Dada a funcion $f(x) = -4x^2 + 12x - 5$
a) Realice a sua representacion grafica estudando os seus puntos de corte cos eixes, monotonia e extremo relativo.
b) Calcule a area do recinto limitado pola grafica da funcion $f(x)$, o eixe OX e as rectas $x = 1$, $x = 2$.

Sexan A e B dous sucesos dun experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}4$, $P(\bar{B}) = 0{,}7$ e $P(\bar{B}|A) = 0{,}75$. Calcule as seguintes probabilidades:
a) $P(A \cap \bar{B})$
b) $P(A \cup B)$
c) $P(A \cap B)$
d) Son A e B sucesos independentes? Xustifique a resposta.

A producion diaria de leite, medida en litros, dunha granxa podese aproximar por unha variable normal de media $\mu$ desconecida e desviacion tipica $\sigma = 50$ litros.
a) Determine o tamano minimo de mostra para que o correspondente intervalo de confianza para $\mu$ ao 95% tena unha amplitude como maximo de 8 litros.
b) Tomanse os datos de producion de 25 dias, calcule a probabilidade de que a media das producions obtidas sexa menor ou igual a 930 litros se sabemos que $\mu = 950$ litros.