Dadas as matrices $$A = \begin{pmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} a & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ e $$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$.

a) Determine os valores $x$, $y$, $z$ para os que a matriz $A$ non ten inversa.

b) Calcule $A^{-1}$ para $x=3$, $y=1$, $z=0$.

c) Resolva o sistema $B\cdot A = C$ para $a=1$.

Un distribuidor de software informático, ten entre os seus clientes empresas e particulares. Ao finalizar o ano debe conseguir polo menos 25 empresas como clientes na súa carteira, e o número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo o dobre ca o de empresas. Ademais, ten estipulado un límite global de 120 clientes anuais. Finalmente, cada empresa produce 386 euros de ingresos anuais, mentres que cada particular 229 euros.

a) Formule o problema para maximizar os ingresos.

b) Represente graficamente o conxunto de solucións.

c) Cal desas solucións lle proporcionaría os maiores ingresos ao finalizar o ano? A canto ascenderían os devanditos ingresos?

Despois de $t$ horas de funcionamento o rendemento dunha máquina (nunha escala de 0 a 100) vén dado pola función $r(t) = \dfrac{kt}{t^2 + 4}$ con $t > 0$.

a) Calcule $K$ sabendo que o rendemento ás 4 horas é de 76.

b) Calcule os intervalos de crecemento e decrecemento do rendemento durante as 7 primeiras horas de funcionamento.

c) En que momento se consegue o rendemento máximo? Cal é o seu valor?

Unha empresa pode vender $x$ unidades ao mes dun determinado produto ao prezo de $518 - x^2$ euros por unidade. Por outra parte, o fabricante ten gastos mensuais: uns fixos de 225 euros e outros de $275x$ euros que dependen do número $x$ de unidades.

a) Determine as funcións $I(x)$ e $B(x)$ que expresan os ingresos e beneficios obtidos pola produción e venda de $x$ unidades, respectivamente. Que beneficio se obtén se se producen e se venden 10 unidades?

b) Calcule o número de unidades que hai que producir para obter o máximo beneficio. A canto ascenderían os ditos beneficios? Cal sería o prezo de venda dunha unidade nese caso?

O 40% das persoas que visitan o Pórtico da Gloria da Catedral de Santiago son españolas. Sábese ademais que 4 de cada 5 españoles están satisfeitos coa visita, mentres que, entre os non españois, non están satisfeitos coa visita o 10%.

a) Calcule a porcentaxe de persoas satisfeitas coa visita.

b) Cal é a probabilidade de que unha persoa estea satisfeita coa visita e non sexa española?

c) Son independentes os sucesos «non ser español» e «estar satisfeito coa visita»? Razoe a resposta.

O peso das laranxas para zume recolectadas por un produtor é unha variable aleatoria que se distribúe normalmente cunha media de $\mu = 200$ gramos e unha desviación típica de $\sigma = 50$ gramos.

a) Se tomamos unha mostra aleatoria de $n = 25$ laranxas, cal é a probabilidade de que o seu peso medio estea comprendido entre 175 e 215 gramos?

b) De que tamaño se tomou outra mostra aleatoria se a probabilidade de que o peso medio sexa inferior a 210 gramos é do 97,72%?