Examen resuelto de Matemáticas CCSS — Ordinaria 2021

Dadas as matrices
$$A = \begin{pmatrix} m & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$
a) Determine para que valores de $m$ existe a matriz inversa de $A$.
b) Despexe a matriz $X$ tal que $X \cdot A + B = C$ e calculea para $m = 1$.

Consideramos o seguinte sistema de inecuacions:
$$y \leq x + 2, \quad x + y \leq 6, \quad x \leq 5, \quad y \geq 0$$

A cantidade de CO2 (en millons de toneladas) emitida a atmosfera por unha determinada rexion o longo do ano 2020, ven dada pola función
$$C(t) = \begin{cases} 5 - \dfrac{t}{3}, & 0 \leq t < 6 \\ \dfrac{1}{4}t^2 - 4t + 18, & 6 \leq t \leq 12 \end{cases}$$
sendo $t$ o tempo transcorrido en meses desde comezo do ano.
a) Estudie en que periodos se produciu un aumento/diminucion da cantidade de CO2 emitida a atmosfera.
b) Cales son as cantidades maxima e minima de CO2 emitidas a atmosfera o longo do ano 2020? En que momentos se produciron?
c) Represente a grafica da función $C(t)$ tendo en conta o estudo realizado nos apartados anteriores.

Un fabricante de automobiles fai un estudo sobre os beneficios, en miles de euros, ao longo dos dez ultimos anos, e comproba que estes se axustan a función
$$B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3 \quad \text{se } 0 \leq t \leq 10 \; (t \text{ en anos})$$
a) Que beneficios obtivo a empresa o ultimo ano do estudo?
b) Determine os periodos de crecemento e decrecemento dos beneficios.
c) En que anos se producen os beneficios maximos e minimos e a canto ascenden?
d) Calcule $\displaystyle\int_1^2 B(t)\,dt$.

Nunha poboacion o 45% son homes. O 27% desa poboacion resulta ser home e lector de prensa deportiva, mentres que un 38,5% e muller e non lectora desa prensa.
a) Das mulleres, que porcentaxe le prensa deportiva?
b) Que porcentaxe e muller ou le prensa deportiva?
c) Dos lectores de prensa deportiva, que porcentaxe son homes?
d) Son incompatibles os sucesos ser home e non ler prensa deportiva? Xustifique a resposta.

Unha compania de seguros quere determinar que proporcion dos seus clientes estaria disposta a aceptar unha subida de tarifas a cambio dun incremento nas suas prestacions. Unha enquisa previa indica que esta proporcion esta en torno ao 15%.
a) De que tamano minimo deberia ser a mostra se se quere estimar dita proporcion cun erro inferior a 0,08 e un nivel de confianza do 95%?
Finalmente, realizase o estudo cunha mostra de 196 clientes, dos que 37 manifestaron a sua conformidade coa proposta.
b) Calcule un intervalo de confianza, ao 92%, para a proporcion de clientes da compania que aceptaria dita proposta. Cal e o erro maximo cometido?