Dadas las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

a) Determina para qué valores de $m$ existe la matriz inversa de $A$.

b) Despeja la matriz $X$ tal que $X \cdot A + B = C$ y calcula para $m = 1$.

Consideramos el siguiente sistema de inecuaciones:

$$y \leq x + 2 \qquad x + y \leq 6 \qquad x \leq 5 \qquad y \geq 0$$

a) Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.

b) Determina el punto o puntos de esa región donde la función $f(x,y) = x - y$ alcanza sus valores máximo y mínimo.

c) Determina esos valores máximo y mínimo.

La cantidad de CO₂ (en millones de toneladas) emitida a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2.020, viene dada por la función:

$$C(t) = \begin{cases} 5 - \dfrac{t}{3}, & 0 \leq t < 6 \\ \dfrac{1}{4}t^2 - 4t + 18, & 6 \leq t \leq 12 \end{cases}$$

siendo $t$ el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a) Estudia en qué periodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de CO₂ emitida a la atmósfera.

b) ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de CO₂ emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2.020? ¿En qué momentos se producen?

c) Representa la gráfica de la función $C(t)$ teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que estos se ajustan a la función:

$$B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3 \quad \text{si } 0 \leq t \leq 10, \; (t \text{ en años})$$

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?

b) Determina los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios.

c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?

d) Calcula $\displaystyle\int_0^{10} B(t)\,dt$

En una población el 45% son hombres. El 27% de esa población resulta ser hombre y lector de prensa deportiva, mientras que un 38,5% es mujer y no lectora de esa prensa.

a) De las mujeres, ¿qué porcentaje lee prensa deportiva?

b) ¿Qué porcentaje es mujer o lee prensa deportiva?

c) De los lectores de prensa deportiva, ¿qué porcentaje son hombres?

d) ¿Son incompatibles los sucesos ser hombre y no leer prensa deportiva? Justifica la respuesta.

Una compañía de seguros quiere determinar qué proporción de sus clientes estaría dispuesta a aceptar una subida de tarifas a cambio de un incremento en sus prestaciones. Una encuesta previa indica que esta proporción está en torno al 15%.

a) ¿De qué tamaño mínimo debería ser la muestra si se quiere estimar dicha proporción con un error inferior a 0,08 y un nivel de confianza del 95%?

b) Finalmente, se realiza el estudio con una muestra de 196 clientes, de los que 37 manifestaron su conformidad con la propuesta. Calcula un intervalo de confianza, al 92%, para la proporción de clientes de la compañía que aceptaría dicha propuesta. ¿Cuál es el error máximo cometido?