Para dúas matrices $A$ e $B$ verifícase que $$A - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$$ e $$2A + B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$.

a) Calcule as matrices $A$ e $B$.

b) Despexe a matriz $X$ na ecuación matricial $A\cdot X - B = X$ e calcule o seu valor.

Nunha fábrica ensámblanse dous tipos de motores: para motos e para coches. Para ensamblar un motor de moto empréganse 60 minutos de traballo manual e 20 minutos de traballo de máquina. Para ensamblar un motor de coche empréganse 45 minutos de traballo manual e 40 minutos de traballo de máquina. Nun mes, a fábrica dispón de 120 horas de traballo manual e 90 horas de traballo de máquina. Sabendo que o beneficio obtido de cada motor de moto é de 1.500 € e o de cada motor de coche de 2.000 €.

a) Formule o problema que permite determinar cantos motores de cada tipo hai que ensamblar mensualmente para maximizar os beneficios globais.

b) Represente graficamente a rexión factible e calcule os seus vértices.

c) Calcule as cantidades que se deben ensamblar cada mes de motores de cada tipo para maximizar beneficios e determine cal é o beneficio máximo.

Os custos dunha empresa, en centos de miles de euros, veñen dados pola función:

$$C(t) = t^3 - \dfrac{21}{2}t^2 + 30t - 12,\ \ \text{con }1 \le t \le 6,\ \text{onde }t\text{ é o tempo en anos.}$$

a) Calcule os custos máximos alcanzados. En que momento se producen?

b) Estude o crecemento e decrecemento dos custos. Determine o custo mínimo e en que momento se alcanza.

c) Cales son os custos ao comezo e ao final do período en estudo? Razoe as respostas.

Dada a función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1 & \text{se }x \le 1 \\ 2x - a & \text{se }x > 1 \end{cases}$$

a) Calcule o valor do parámetro $a$ para que a función $f(x)$ sexa continua en todo $\mathbb{R}$.

b) Para $a = 2$ calcule os extremos relativos da función $f(x)$ e represéntea.

c) Calcule a área da rexión delimitada pola función $f(x)$, para $a = 2$, e as rectas $Y = 0$, $X = 0$ e $X = 2$.

Un estudo revela que o 70% das persoas dunha poboación segue a serie de televisión A, o 60% segue a serie B e o 30% solo segue a serie A.

a) Que porcentaxe da poboación segue as dúas series?

b) Se eliximos unha persoa ao chou, cal é a probabilidade de que siga algunha das dúas series?

c) Se eliximos ao chou unha persoa que segue a serie A, cal é a probabilidade de que siga tamén a serie B?

Sábese que a idade dos traballadores nas fábricas dunha zona segue unha distribución normal de desviación típica 10 anos. Cunha mostra de traballadores da zona o intervalo de confianza ao 90% para a media de idade obtido é $(39{,}25,\ 44{,}75)$.

a) Cal foi o tamaño da mostra utilizada?

b) Canto vale a media da mostra?

c) Cal sería o erro cometido a un nivel de confianza do 95%?