Dadas as matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$.

a) Calcule as matrices $A^2 - B$ e $A - I$, onde $I$ representa a matriz identidade de orde 3.

b) Calcule, se é posible, a inversa da matriz $A - I$.

c) Despexe $X$ na ecuación matricial $X\cdot A + B = A^2 + X$ e calcule o seu valor.

Unha empresa fabrica teléfonos móbiles coa mesma pantalla en dúas calidades distintas: calidade A, carcasa de plástico e calidade A+ carcasa de aluminio. O custo unitario de produción é de 70 € para os teléfonos de calidade A e de 90 € para os de calidade A+. Os prezos de venda son de 100 € para os de clase A e de 150 € para os de clase A+. Se para fabricar a próxima remesa de móbiles, a empresa dispón dun capital de 30.000 euros e o seu provedor de compoñentes é capaz de fornecerlle, como máximo, 350 pantallas (que se usan para ambas clases de móbiles) e 310 carcasas de aluminio.

a) Formule o problema que determina o número de móbiles de cada calidade que se deben fabricar para maximizar o beneficio.

b) Represente graficamente a rexión factible e calcule os seus vértices.

c) Determine unha solución óptima e ache o valor óptimo da función obxectivo.

Nunha zona protexida dun parque natural o número de aves $N(t)$, en centos, en función do tempo $t$ (anos transcorridos desde que se contabilizan as aves) vén dado pola función

$$N(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 50 & \text{se }0 \le t \le 10 \\ 95 - \dfrac{250}{t} & \text{se }t > 10 \end{cases}$$

a) Calcule os intervalos de crecemento e decrecemento da función $N(t)$. Entre que anos crece a función? Entre que anos decrece?

b) Cando se alcanza o número mínimo de aves no parque? Cantas aves hai nese momento?

c) Calcule o intervalo de tempo no que a poboación de aves se mantén entre 5.000 e 7.500 aves. A que valor tende a poboación de aves co paso do tempo?

Dada a función $f(x) = x^3 - ax^2 + 8x$.

a) Calcule o valor do parámetro «$a$» tendo en conta que a función $f(x)$ presenta un punto de inflexión en $x = 2$.

b) Para $a = 6$, calcule a área do recinto limitado pola gráfica da función $f(x)$ e o eixe OX.

Un estudo revela que 2 de cada 5 habitantes dunha determinada poboación son menores de 30 anos, o 70% dos habitantes realizan exercicio físico con regularidade e o 30% dos habitantes son menores de 30 anos e realizan exercicio físico con regularidade.

a) Que porcentaxe da poboación nin é menor de 30 anos nin realiza exercicio físico con regularidade?

b) Cal é a probabilidade de que un habitante que non realiza exercicio físico con regularidade sexa menor de 30 anos?

c) Son independentes os sucesos ser menor de 30 anos e realizar exercicio físico con regularidade? Xustifique a resposta.

Tomamos unha mostra aleatoria de 36 facturas de consumo mensual de luz (en euros) e o intervalo de confianza obtido ao 95% para o consumo mensual medio é $[60{,}1,\ 69{,}9]$. Segundo esta información:

a) Cal foi o consumo medio mostral de luz?

b) Cal é o erro máximo cometido?

c) Determine un intervalo de confianza ao 90% para o consumo medio de luz.