Sexan as matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ e $$B = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
a) Calcule a matriz $A^t$ (sendo $A^t$ a matriz trasposta de $A$) e calcule a matriz $A \cdot B$.
b) Calcule a matriz $$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ que cumpre $A \cdot B \cdot X = C + I$ onde $$C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ e $I$ a matriz identidade $2 \times 2$.

Un grupo empresarial desexa crear unha rede de produccion formada por plantas de dous tipos: A e B. Cada planta de produccion A xeraria uns custos mensuais de 1.000 euros e necesitaria 8 empregados para o seu funcionamento, mentres que cada planta de produccion B xeraria uns custos mensuais de 2.000 euros e necesitaria 4 empregados. O numero de plantas de produccion A non debera superar o dobre das de tipo B. Ademais, os custos mensuais desta rede de produccion non deben superar os 42.000 euros e tampouco debe supoñer a contratacion de mais de 120 empregados.
a) Formule o sistema de inecuacions asociado ao problema.
b) Represente graficamente a rexion factible e calcula os seus vertices.
c) Se se sabe que cada planta de produccion A xeraria uns beneficios mensuais de 24.000 euros e cada planta de produccion B de 20.000 euros, cantas plantas de produccion de cada tipo deberian formar a rede para que os beneficios mensuais sexan maximos?

O volume de auga (en millons de litros) almacenado nun embalse ao longo dun periodo de 11 anos en funcion do tempo $t$ (en anos) ven dado pola funcion
$$V(t) = t^3 - 24t^2 + 180t + 8000, \quad 0 \leq t \leq 11$$
a) Determine os periodos de crecemento e decrecemento da auga almacenada.
b) Calcule a cantidade de auga almacenada no ultimo ano ($t = 11$).
c) Calcule o ano do periodo no que o volume almacenado foi maximo e o volume maximo que tivo o embalse ao longo dese periodo.

Os beneficios obtidos durante o primeiro ano (en centos de euros) por un establecemento dedicado ao reparto de comida a domicilio venen dados pola funcion
$$B(t) = t(t - a)^2, \quad 0 \leq t \leq 12$$
onde $t$ e o tempo transcorrido en meses desde a apertura do establecemento.
a) Calcule o valor do parametro $a$ tendo en conta que $B(t)$ presenta un punto de inflexion en $t = 6$.
b) Para $a = 9$, cal foi o maior beneficio obtido? En que momento ou momentos se produciu? Xustifique as respostas.
c) Para $a = 9$, represente a grafica da funcion $B(t)$ tendo en conta a informacion anterior e o estudo dos seus intervalos de crecemento e decrecemento.

Nunha cidade, o 70% da poboacion recibe publicidade dun establecemento, dos cales un 90% realiza algunha compra en devandito establecemento. Tamen se sabe que dos que non reciben publicidade, un 60% realiza algunha compra en devandito establecemento.
a) Que porcentaxe da poboacion da cidade realiza algunha compra nese establecemento?
b) Se eliximos unha persoa ao azar que realizou algunha compra nese establecemento, cal e a probabilidade de que recibise publicidade do mesmo?
c) Son independentes os sucesos "realizar algunha compra nese establecemento" e "recibir publicidade do mesmo"? Xustifique a resposta.

Nunha mostra aleatoria de 120 empresas inspeccionadas, de entre as visitadas un ano polos inspectores de traballo dunha provincia, sancionouse a 30 delas.
a) Calcule, con un nivel de confianza do 90%, un intervalo de confianza para a proporcion de empresas sancionadas pola Inspeccion de Traballo.
b) Se ignoramos os datos iniciais e cun nivel de confianza do 95%, cal e o tamaño minimo da mostra necesaria para estimar a proporcion de empresas sancionadas cun erro maximo do 2%?