Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & -4 & k \end{pmatrix}$$

a) Calcule para qué valor de $k$ no existe la matriz inversa de $A$.

b) Justifique cuál es el rango de $A$ si $k = -5$.

c) Calcule la matriz $A^{-1}$ (inversa de $A$) para $k = -2$.

Una fábrica textil compra tela a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden la tela a 2 y 3 euros por metro, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 200 metros y un máximo de 700 y para satisfacer su demanda, la fábrica debe comprar en total como mínimo 600 metros. La fábrica quiere comprar al distribuidor A, como máximo, el doble de metros que al distribuidor B.

a) Plantee el problema que permite encontrar los metros que debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste.

b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

c) Calcule los metros que se deben comprar a cada distribuidor para obtener el mínimo coste y determine dicho coste mínimo.

La función $f(x) = ax^2 + bx + c$, donde $a$, $b$, $c$ son números reales, pasa por el origen de coordenadas y tiene un máximo en el punto $P(4\text{,}\, 16)$.

a) Calcule los valores de $a$, $b$, $c$.

b) Realice la representación gráfica de la función $f(x)$ y determine el área comprendida entre dicha función y el eje OX.

Una fábrica produce un artículo de pesca deportiva y vende cada unidad a un precio $$P(x) = -\frac{x^2}{20} + x + 55$$ (en euros) que depende del número total de unidades producidas $x$, con $0 \le x \le 30$. Se sabe que la producción de $x$ unidades supone un coste fijo de 80 euros más un coste variable de 11,25 euros por unidad.

a) Calcule las expresiones de las funciones de coste, ingreso y beneficio.

b) ¿Cómo debe planificarse la producción para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Cuál sería el precio de venta por unidad en ese caso?

En una encuesta el 80% de los entrevistados dice que lee o escucha música, el 35% hace las dos cosas y el 60% no lee.

Calcule las probabilidades de que una persona elegida al azar:

a) Escuche música y no lea.

b) Lea y no escuche música.

c) Haga solamente una de las dos cosas.

d) ¿Son independientes los sucesos "escuchar música" y "leer"? Justifique la respuesta.

La longitud (en centímetros) de los listones de madera que se producen en una industria se distribuye normalmente con una desviación típica de $\sigma = 6$ centímetros.

a) Calcule un intervalo del 98% de confianza para la longitud media de los listones teniendo en cuenta que en un lote de 9 listones se ha observado una longitud media de 244 centímetros.

b) Si la longitud media de los listones producidos es de $\mu = 244$ centímetros, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud media de los listones de un lote de $n = 16$ listones sea inferior a 242 centímetros?