EXERCICIO 1. Álxebra. Considere a ecuación matricial $X \cdot A + B = A \cdot B^{t}$, onde $B^{t}$ denota a matriz trasposta de $B$, sendo $A$ e $B$ as matrices seguintes:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

a) Calcule, se é posible, a inversa da matriz $A$ e o rango da matriz $B$.

b) Despexe a matriz $X$ na ecuación matricial e, a continuación, calcule o seu valor.

EXERCICIO 2. Álxebra. Considere o sistema de inecuacións dado por:

a) Represente graficamente a rexión factible determinada polo sistema de inecuacións anterior e calcule os seus vértices.

b) Calcule o punto ou puntos desa rexión onde a función $f(x, y) = 2x - 3y$ alcanza o seu valor máximo e o seu valor mínimo.

EXERCICIO 3. Análise. O número de vehículos vendidos por un concesionario ao longo do último ano estímase que vén dado pola función

onde $t$ é o tempo transcorrido en meses.

a) Determine os períodos de crecemento e decrecemento do número de vehículos vendidos. Cal foi o maior número de vehículos vendidos? E o menor? En que momentos se produciron? Xustifique as súas respostas.

b) Coa información do apartado anterior, represente a gráfica da función.

c) Houbo algún período do ano no que o número de vehículos vendidos fora inferior a 12 unidades? Xustifique a súa resposta.

EXERCICIO 4. Análise. Considérese a seguinte función:

onde $a, b, c$ son números reais.

a) Calcular $a, b, c$ sabendo que a función $f(x)$ pasa por $(2, 8)$ e que ten un extremo relativo en $(0, 16)$.

b) Para $a = b = 0$ e $c = 16$, calcule a área da rexión limitada pola función $f(x)$ e a recta $y = 8$.

EXERCICIO 5. Estatística e Probabilidade. Estímase que nunha poboación o 20% padece obesidade e que o 11% padece obesidade e son hipertensos. Ademais, o 27,5% dos hipertensos padecen obesidade.

a) Que porcentaxe da poboación padece obesidade ou é hipertenso?

b) Son independentes os sucesos “padecer obesidade” e “ser hipertensos”?

c) Calcule a probabilidade de que un individuo que non padece obesidade sexa hipertenso.

EXERCICIO 6. Estatística e Probabilidade. Pode supoñerse que o tempo de formación, en horas, que precisa un empregado dunha empresa para poder traballar nunha nova planta segue unha distribución normal con desviación típica igual a $15$.

a) Se nunha mostra de $25$ empregados, o tempo medio precisado foi de $97$ horas, calcule un intervalo de confianza cun $95\%$ de confianza para a media do tempo de formación precisado.

b) Se a media do tempo de formación precisado é $\mu = 97$ horas, cal é a probabilidade de que o tempo medio precisado de mostras de $36$ traballadores se atope entre $90$ e $104$ horas?