Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2022

Despexe $X$ da ecuación matricial $AB(X - I) = C$, onde $I$ é a matriz identidade (asuma que o produto $AB$ ten inversa). Logo, calcule $X$ se
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o sistema
$$\begin{cases} x + (m-3)y + mz = 1, \\ (m-3)y + (m^2 - m)z = 1, \\ x + m^2 z = 0. \end{cases}$$

a) Calcule os límites $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x}$ e $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$, onde $\ln x$ é o logaritmo neperiano de $x$.
b) Debuxe a gráfica dunha función $f$ continua e non negativa no intervalo $[0,3]$ tal que: $f(0) = 0$, $f(3) = 0$, $f'' > 0$ no intervalo $(0,1)$, $f'' < 0$ no intervalo $(2,3)$ e $f$ é constante no intervalo $(1,2)$.

Obteña a función $f$, sabendo que $f''(x) = 2x - e^{-x}$ e que a ecuación da recta tanxente á gráfica de $f$ no punto de abscisa $x = 0$ é $y = 3x - 1$.

a) Obteña a ecuación implícita ou xeral do plano $\pi$ que pasa polo punto $P(1,-1,0)$ e é perpendicular á recta $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -1, \\ z = 0, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}$$.
b) Calcule os dous puntos da recta $$r: \begin{cases} x = \lambda, \\ y = \lambda, \\ z = \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}$$, cuxa distancia ao plano $\pi: x - 1 = 0$ é igual a 2.

a) Ache os valores de $k$ e de $m$ que fan que os puntos $A(k,3,m)$, $B(2,0,2)$ e $C(k,2{,}0)$ estean aliñados.
b) Estude a posición relativa das rectas $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z-2}{2}$ e $s: \dfrac{x+2}{3} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z+1}{3}$. Se se cortan, calcule o punto de corte.

a) Se $P(A \cup B) = \dfrac{1}{3}$ e $P(B) = \dfrac{1}{4}$, calcule $P(A)$ sabendo que $A$ e $B$ son sucesos incompatibles. Canto valería $P(A)$ se supuxésemos que $A$ e $B$ son, en lugar de incompatibles, independentes?
b) Nunha certa cidade, o 21% das persoas len ciencia ficción, o 63% len novela negra, e o 17% len tanto ciencia ficción como novela negra. Se se elixe ao azar unha persoa desa cidade, calcule:
- A probabilidade de que lea novela negra sabendo que le ciencia ficción.
- A probabilidade de que non lea nin ciencia ficción nin novela negra.

a) Calcule o valor de $P(-2 \leq X \leq 7)$ se $X$ segue unha distribución normal de media 1 e desviación típica 3.
b) Calcule o valor de $\alpha$ que fai que $P(\mu - \alpha \leq X \leq \mu + \alpha) = 0.8064$ se $X$ segue unha distribución normal de media $\mu$ e desviación típica 4.