1. Números e Álxebra:
Despexe a matriz X da ecuación X𝐴= 𝐴+ X𝐵, se 𝐴 e 𝐵 son matrices cadradas tales que 𝐴−𝐵 é invertible.
Logo, calcule X se 𝐴= (1
2
0
0) e 𝐵= (𝐴2 −𝐴−𝐼)−1, onde 𝐼 é a matriz identidade de orde 2.

2. Números e Álxebra:
Discuta, segundo os valores de 𝑚, o sistema {
𝑚x
+
(2 + 𝑚2)y
=
1 + 𝑚,
𝑚y
−
z
=
1,
𝑚x
+
2y
+
(2𝑚−4)z
=
5.

3. Análise:
a) Se f(x) = 𝑎ex+ 𝑏, diga que valores deben ter 𝑎 e 𝑏 para que se cumpran f(0) = 0 e $\lim_{x \to 0}$ f(x)
x
= 3.
b) Estude se a función f(x) = x+ sinx ten extremos ou puntos de inflexión no intervalo (0,2𝜋), diga onde
están en caso de que existan e esboce a gráfica de f nese intervalo.

4. Análise:
Calcule a área da rexión determinada polas desigualdades x≥1, y≤x e y≥f(x), con f(x) = xln x. Faga
un esbozo gráfico da rexión. Nota: ln x é o logaritmo neperiano de x.

5. Xeometría:
a) Obteña as ecuacións paramétricas da recta 𝑟 que pasa polos puntos P(2, −1,0) e 𝑄(3,0,0) e a ecuación
implícita ou xeral do plano 𝜋 que pasa polo punto 𝑅(0,4, −2) e é paralelo aos vectores 𝑢⃗ (1,0, −1) e
𝑣 (2,1, −2).
b) Calcule o ángulo agudo que forma a recta 𝑟:
x−2
1 =
y+1
1 =
z
0 co plano 𝜋: x+ z+ 2 = 0.

6. Xeometría:
a) Calcule o punto simétrico de P(2, −1,0) con respecto ao plano 𝜋: x+ z+ 2 = 0.
b) Estude a posición relativa das rectas 𝑟:
x−2
1 =
y+1
1 =
z
0 e 𝑠:
x−2
2 =
y+2
1 =
z+1
−1 . Se se cortan, calcule o punto
de corte.

7. Estatística e Probabilidade:
a) Calcule as catro probabilidades P(𝐴), P(A ∩𝐵̅), P(𝐴|𝐵) e P(𝐵|𝐴) sabendo que P(𝐴∪𝐵) = 0.8,
P(𝐴∩𝐵) = 0.2 e P(𝐴) = 2P(𝐵). Nota: 𝐵̅ é o suceso contrario ou complementario de 𝐵.
b) Nun coñecido congreso, o 60% dos científicos inscritos participan online e o resto asisten en persoa.
Ademais, o 65% dos inscritos son europeos e o 80% dos que asisten en persoa tamén o son. Se se elixe ao
azar a un dos inscritos, calcule a probabilidade de que sexa europeo e, á vez, participe online; logo, a de que
participe online se se sabe que é europeo.

8. Estatística e Probabilidade:
a) Nunha certa zona húmida, a probabilidade de que un cabezolo chegue a ra adulta é do 2%. Se se escollen
ao azar 2500 deses cabezolos, cal é a probabilidade de que polo menos 55 deles cheguen a ras adultas?
b) Para conceder bolsas de estudo, un organismo valora os méritos presentados e asigna a cada candidato
unha puntuación que indica máis méritos canto maior é o seu valor. Este ano, a puntuación segue unha
distribución normal de media 100 e desviación típica 20, e tómase a decisión de conceder a bolsa ao 5%
mellor do conxunto de solicitantes. Que puntuación é preciso alcanzar para obter a bolsa?
Proba de Avaliación do Bacharelato
para o Acceso á Universidade
Convocatoria ordinaria 2023
Código: 20
MATEMÁTICAS II
El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas
como quiera. Si responde más preguntas de las permitidas, solo serán corregidas las 5 primeras
respondidas.
1. Números y Álgebra:
Despeje la matriz X de la ecuación X𝐴= 𝐴+ X𝐵, si 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas tales que 𝐴−𝐵 es
invertible. Luego, calcule X si 𝐴= (1
2
0
0) y 𝐵= (𝐴2 −𝐴−𝐼)−1, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 2.
2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores de 𝑚, el sistema {
𝑚x
+
(2 + 𝑚2)y
=
1 + 𝑚,
𝑚y
−
z
=
1,
𝑚x
+
2y
+
(2𝑚−4)z
=
5.
3. Análisis:
a) Si f(x) = 𝑎ex+ 𝑏, diga qué valores deben tener 𝑎 y 𝑏 para que se cumplan f(0) = 0 y $\lim_{x \to 0}$ f(x)
x
= 3.
b) Estudie si la función f(x) = x+ sin x tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo (0,2𝜋), diga
dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de f en ese intervalo.
4. Análisis:
Calcule el área de la región determinada por las desigualdades x≥1, y≤x e y≥f(x), con f(x) = xln x.
Haga un esbozo gráfico de la región. Nota: ln x es el logaritmo neperiano de x.
5. Geometría:
a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta 𝑟 que pasa por los puntos P(2, −1,0) y 𝑄(3,0,0) y la
ecuación implícita o general del plano 𝜋 que pasa por el punto 𝑅(0,4, −2) y es paralelo a los vectores
𝑢⃗ (1,0, −1) y 𝑣 (2,1, −2).
b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta 𝑟:
x−2
1 =
y+1
1 =
z
0 con el plano 𝜋: x+ z+ 2 = 0.
6. Geometría:
a) Calcule el punto simétrico de P(2, −1,0) con respecto al plano 𝜋: x+ z+ 2 = 0.
b) Estudie la posición relativa de las rectas 𝑟:
x−2
1 =
y+1
1 =
z
0 y 𝑠:
x−2
2 =
y+2
1 =
z+1
−1 . Si se cortan, calcule el
punto de corte.
7. Estadística y Probabilidad:
a) Calcule las cuatro probabilidades P(𝐴), P(A ∩𝐵̅), P(𝐴|𝐵) y P(𝐵|𝐴) sabiendo que P(𝐴∪𝐵) = 0.8,
P(𝐴∩𝐵) = 0.2 y P(𝐴) = 2P(𝐵). Nota: 𝐵̅ es el suceso contrario o complementario de 𝐵.
b) En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona.
Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se
elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online;
luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.
8. Estadística y Probabilidad:
a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al
azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?
b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato
una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una
distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5%
mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?
Proba de Avaliación do Bacharelato
para o Acceso á Universidade
Convocatoria extraordinaria 2023
Código: 20
MATEMÁTICAS II
O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como
queira. Se responde máis preguntas das permitidas, só serán corrixidas as 5 primeiras respondidas.
1. Números e Álxebra:
a) Calcule 𝐴 se (𝐴𝐵)𝑇= (1
0
2
1) e 𝐵= ( 1
1
−1
1).
b) Se 𝐴= (3
x
y
z) é invertible, obteña os valores de x, y e z sabendo que det(𝐴−3𝐼) = 0, que y≠0 e que
(3z)𝐴−1 + 𝐼= ( 2
0
−1
4). Enténdase que 𝐼 é a matriz identidade.
2. Números e Álxebra:
Discuta, segundo os valores do parámetro 𝑚, o sistema {
(𝑚+ 1)x
+
z
=
1,
(𝑚+ 1)x
+
y
+
z
=
𝑚+ 1,
(𝑚+ 1)x
+
𝑚y
+
(𝑚−1)z
=
𝑚.
3. Análise:
a) Enuncie os teoremas de Rolle e do valor medio do cálculo diferencial.
b) Explique se f: [0,1] →ℝ, f(x) = √1 −$x^2$ está ou non nas hipóteses do teorema do valor medio do cálculo
diferencial. En caso de que o estea, calcule un valor 𝑐 para o cal se cumpra a tese dese teorema.
4. Análise:
a) Calcule mediante cambio de variable as integrais ∫(sin x)5 cos x𝑑x e ∫(ln x)/x𝑑x.
b) Calcule ∫(ln x)/x𝑑x empregando o método de integración por partes. Logo, obteña algún valor de 𝐵 tal
que ∫(ln x)/x𝑑x= 3/2
𝐵
e
.
5. Xeomet
[... texto truncado, ver PDF original]