Sean A y B dos matrices tales que A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} y A + B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
a) Calcule A^2.
b) Calcule la matriz X que satisface la igualdad A^2 X - (A+B)^T = 3I - 2X, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A+B)^T la traspuesta de (A+B).

Discuta, segun los valores del parametro m, el siguiente sistema:
\begin{cases} mx + (m+2)y + z = 3 \\ 2mx + 3my + 2z = 5 \\ (m-4)y + mz = m \end{cases}

a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.
b) Calcule $\displaystyle\int x^3 e^{x^2}\,dx$.

Calcule los siguientes limites:
a) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln(1+x)}{x\,\sin x}$
b) $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{a^{\ln x} - x^{\ln a}}{x^{\ln a}}$ (siendo $a > 0$ constante).

a) Considerese el plano pi: 4x + 2y + bz = 2 y la recta r: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$, donde b y c son parametros reales. Calcule los valores que tienen que tomar b y c para que la recta r este contenida en pi.
b) Calcule la distancia del punto $P(1,3,1)$ al plano pi': 4x + 2y - 4z = 2.

a) Considerense los puntos Q(-1,3,-5), R(3,1,0) y S(0,1,2). Obtenga la ecuacion implicita o general del plano pi que contiene a Q, R y S.
b) Obtenga las ecuaciones parametricas y la ecuacion continua de la recta que pasa por el punto $P(3,-1,-1)$ y sea perpendicular al plano pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0.

Sabiendo que $P(A)$ = 1/2 y $P(B)$ = 1/5:
a) Suponiendo que A y B son sucesos independientes, calcule $P(A union B)$ y P(A_complementario interseccion B_complementario).
b) Suponiendo que A y B son sucesos incompatibles, calcule $P(A union B)$ y P(A_complementario interseccion B_complementario).
(Nota: A_comp y B_comp son los sucesos contrarios o complementarios de A y B, respectivamente.)

Una maquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribucion normal con media igual a 500 mililitros y desviacion tipica igual a 4 mililitros.
a) Si elegimos al azar una de las botellas, cual es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?
b) Cual es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el 97,5% de estas botellas?