Examen PAU Matemáticas II — Ordinaria 2025

As cafeterías universitarias son espazos nos que, ademais de poder consumir alimentos e bebidas, en numerosas ocasións se empregan como puntos de encontro para outros eventos. Segundo os datos recollidos pola dirección da cafetería dunha facultade, o 65% dos seus clientes son estudantes, o 25% persoal da universidade e o 10% restante son persoas alleas á universidade.
Co obxectivo de estudar se é necesario realizar modificacións na cafetería, os seus responsables analizaron datos sobre o tempo de espera ata que un cliente foi atendido e sobre a forma de realizar os pagamentos. Pode supoñerse que o tempo de espera ata que un cliente é atendido segue unha distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos e de tal modo que o 90% dos clientes son atendidos antes de 8 minutos. Polos datos recollidos, chegaron á conclusión de que o 30% dos estudantes efectúan os pagamentos en efectivo, sendo esta porcentaxe igual ao 70% para o persoal da universidade, mentres que o 80% dos pagamentos realizados por persoas alleas á universidade se fan en efectivo.

2.1.1. Se $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$, ache $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tales que $A^2 + \alpha A + \beta I = 0$, onde $I$ e $0$ son as matrices identidade e cero, respectivamente.
2.1.2. Calcule a matriz cadrada $X$ tal que $XA = B$, se $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ e $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$. Son iguais $XA$ e $AX$?

Discuta, segundo os valores do parámetro $m$, o sistema $$\begin{cases} x + y + mz = 1, \\ x + my + z = 1, \\ mx + y + z = 1. \end{cases}$$

Dada a función $$f(x) = \begin{cases} kx^2 + 2x & \text{se } x \leq 1, \\ x^2 - m & \text{se } x > 1, \end{cases}$$ pídese responder ás seguintes cuestións:

Debuxe a rexión cerrada pola gráfica de $f(x) = \sqrt{2x + 1}$, o eixe $X$ e as rectas $x = 0$, $x = 4$. Logo, calcule a súa área.

Determine o valor que debe tomar $k$ para que os planos
$$\pi_1: kx + y + \tfrac{1}{4}z + 2 = 0 \qquad \text{e} \qquad \pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0$$
sexan paralelos. Calcule tamén o valor de $k$ que fai que eses mesmos planos sexan perpendiculares.

Considérense o punto $P(0,1,0)$ e a recta $r: (x, y, z) = (2,0,3) + \lambda(1,2,3)$, $\lambda \in \mathbb{R}$.
4.2.1. Determine a ecuación continua da recta $s$ que é paralela a $r$ e pasa polo punto $P$.
4.2.2. Obteña a ecuación implícita ou xeral do plano $\pi$ que pasa por $P$ e é perpendicular a $r$.