Consideramos el sistema de ecuaciones lineales donde $a$ es un número real $$\begin{cases} ay + az = 0 \\ y + z = 0 \\ 4z - 2y + az = a \end{cases}$$. (i) ¿Existe algún valor de $a$ para que el sistema sea compatible y determinado? [0.75 puntos] (ii) ¿Existe algún valor de $a$ para el que el sistema no tenga soluciones? [0.5 puntos] (iii) Resuelve el sistema si $a = 0$. [1.25 puntos]

Dada una matriz cuadrada $A$. (i) ¿Puede saberse si tiene inversa sin calcularla explícitamente? ¿Cómo? [0.5 puntos] (ii) Sea ahora $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$. Halla, si existe, la inversa de $A$. [0.75 puntos] (iii) Si $A$ es la matriz del apartado anterior, determina las matrices $X$ e $Y$ de orden 2 tales que $$\begin{cases} 3X + 2Y = A \\ X + Y = 2A \end{cases}$$. [1.25 puntos]

Los beneficios de una empresa vienen dados por la función $f(x,y) = x + y + 1$ pero está sujeta a las siguientes restricciones: $4x + y \leq 8$, $3x - 2y \leq 12$, $x + 5y \leq 21$, $x \geq 0$, $y \geq 0$. (i) Dibuja en el plano la región factible que representa estas restricciones. [1.25 puntos] (ii) ¿Para qué valores de $x$ e $y$ obtiene la empresa el beneficio máximo? [1.25 puntos]

Consideramos la función $f(x) = x^4 - ax^2 + b$. (i) ¿Qué valores deben tomar $a$ y $b$ para que la función tenga un mínimo en el punto $(1, 0)$? [1 punto] (ii) Con los valores de $a$ y $b$ del apartado (i), calcula los puntos donde $f(x)$ tiene tangente paralela a la recta $y = 1$. [1 punto] (iii) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x = 1$. [0.5 puntos] NOTA: si no has conseguido determinar $a$ y $b$ en el apartado anterior, toma $a = 2$ y $b = 1$ en los apartados (II) e (III).

Sea la función $$f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ ax - 2, & 1 \leq x \end{cases}$$. (i) ¿Para qué valor de $a$ la función es continua? [0.75 puntos] (ii) Utilizando el valor de $a$ del apartado (i), esboza una gráfica de la función $f$. [0.75 puntos] (iii) Con el valor de $a$ del apartado (i), calcula el área encerrada por la gráfica de la función $f$, el eje $OX$ y la recta $x = 3$. [1 punto] NOTA: si no has conseguido determinar $a$, toma $a = 3$ en los apartados (II) e (III).

La parte positiva de la función $f(t) = -2t^3 + 16t$ indica la gravedad de un enfermo desde que contrae una determinada enfermedad hasta que vuelve a estar sano. (i) Haz un esbozo de la gráfica de la función. [0.5 puntos] (ii) Si la variable $t$ se mide en días, ¿cuántos días dura la enfermedad? [1 punto] (iii) ¿En qué día del proceso está más grave el enfermo? [1 punto]

El número de usuarios diarios del transporte metropolitano sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 108$. (i) Si la media de usuarios diarios fuese 1.700, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de usuarios de 36 días fuese más de 1.678? [1.25 puntos] (ii) En los 100 primeros días del año, la media diaria de usuarios ha sido 1.750. Determina un intervalo de confianza del 95% para la media de viajeros. [1.25 puntos]

En una clase hay 24 estudiantes; 12 de ellos han aprobado inglés, 16 han aprobado matemáticas y 4 han suspendido las dos asignaturas. (i) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado matemáticas y haya suspendido inglés? [0.75 puntos] (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado las dos asignaturas? [0.75 puntos] (iii) ¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés? [1 punto]

Un hospital está especializado en el tratamiento de 3 enfermedades $A, B, C$. El 40% de los pacientes ingresan con la enfermedad $A$, el 35% con la enfermedad $B$ y el 25% con la enfermedad $C$. La probabilidad de curación de la enfermedad $A$ es del 80%, de la $B$ el 60% y de la $C$ el 90%. (i) José ingresa en el hospital (no sabemos cuál de las tres enfermedades padece). ¿Cuál es la probabilidad de que se cure? [1 punto] (ii) Miguel ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ingresara padeciendo la enfermedad $B$? [1 punto] (iii) Rosa ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que NO padeciera la enfermedad $B$? [0.5 puntos]