Resuelve el sistema lineal $$\begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases}$$ ¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones?

Halla una matriz $A$ que cumpla la igualdad $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Un pastelero elabora dos clases de pasteles, con masa y chocolate que tiene preparados en cuencos. Las llamaremos $A$ y $B$. Puede elaborar un máximo de 30 unidades de la clase $B$. Cada unidad de la clase $A$ requiere 2 cuencos de masa y 2 de chocolate, y se vende por 5 euros. Las de la clase $B$ contienen 1 cuenco de masa y 2 de chocolate, y su precio es de 4 euros. Dispone de 60 cuencos de masa y 80 de chocolate para elaborar todos los pasteles. Dando por supuesto que venderá todos los pasteles, ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio?

Definimos la función $f(x) = \dfrac{2}{x(x-2)}$ para los valores reales $x$ en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio? ¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y = f(x)$? Indica los límites de $f$ relevantes en cada caso. Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de $f$, que debes calcular previamente.

Consideramos la parábola $y = 5x - x^2 - 4$. La recta $y = ax$ corta a la parábola en un punto $(x_0, y_0)$, e $y_0$ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen $a$, $x_0$ e $y_0$?

En la figura se representa la gráfica $y=f(x)$, con $f(x)=(x^2-1)(x-b)$ para cierto $b$ entre $-1$ y $1$. ¿Qué signo tienen respectivamente las integrales $\int_{-1}^{b} f(x)\,dx$ y $\int_{b}^{1} f(x)\,dx$? Sabemos que $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \tfrac{1}{3}$. Halla entonces el valor de $b$.

Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena. (i) ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno? (ii) ¿Cuál es la probabilidad del suceso "Santi saca par"? ¿Y la de "gana Milena" condicionada a "Santi saca par"? ¿Cuál es entonces la probabilidad de "Santi saca par" condicionada a "gana Milena"?

La estatura de las niñas de 3 años en España sigue una distribución normal de media 95 cm. Si nos dicen que una niña que mide 102 cm está en el percentil 97 (es decir, es más alta que el 97% de las niñas de su edad), ¿cuál es la desviación típica de la variable? Se toma una muestra aleatoria independiente de 25 niñas de tres años. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la media de las 25 estaturas?

En un gran yacimiento arqueológico se estudian 36 cráneos, cuyo perímetro medio servirá para datar aproximadamente la época de ocupación. La media resulta ser igual a 56,2 cm. (a) Si consideramos como desviación típica el valor 1,5 cm, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza 0,95? (b) ¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el 90% de confianza?