Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Extraordinaria 2026

Resuelve los apartados a) y b):
a) (1 PUNTO) Según los resultados obtenidos en una investigación relativa al ocio digital juvenil, se observa que el 80% de los alumnos de cierta universidad está suscrito a una plataforma musical, el 60% lo está a una de video y, además, el 90% tiene al menos una de las dos suscripciones. Se elige un alumno al azar, se pide:
a.1. Calcula la probabilidad de que esté suscrito a ambos tipos de plataformas.
a.2. Si está suscrito a una plataforma de video, calcula la probabilidad de que no lo esté a una de música.
b) (2 PUNTOS) El peso de cierto tipo de quesos producidos en una quesería sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 60 gramos.
b.1. Se toma una muestra aleatoria de 36 quesos obteniéndose una media muestral de 980 gramos. Calcula un intervalo de confianza al 97% para estimar $\mu$.
b.2. Determina cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error cometido sea, a lo sumo, de 10 gramos.

En una sastrería se confeccionan dos tipos de prendas A y B. Para fabricarlas se usan dos recursos: horas de corte y horas de costura. Cada prenda A requiere de 3 horas de corte y 2 de costura; cada prenda B, de 1 y 4 horas respectivamente. El taller dispone diariamente de un máximo de 15 horas para el corte y de 20 horas para la costura. Los ingresos obtenidos por cada unidad de A son de 100 € y por cada una de B, 120 €. Se pide:

Dada la matriz $M=\begin{pmatrix}a&1\\1&-a\end{pmatrix}$, a: número real. Se pide:
a) (1 PUNTO) Calcula el valor de “a” para que se cumpla: $M^2=I$. Para ese valor de “a”, calcula la matriz inversa de M y halla $M^{21}$.
b) (1 PUNTO) Para a=1: calcula una matriz X que verifique la igualdad: $M\cdot X+M^{\mathrm T}=2I$.
(I representa la matriz identidad orden 2 y $M^{\mathrm T}$ la matriz traspuesta de M)

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}5&1&2\\0&4&1\\3&2&0\end{pmatrix}$, se pide:
a) (0,75 PUNTOS) Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de A.
b) (1,25 PUNTOS) Calcula una matriz X que verifique la igualdad: $X\cdot A=B^{\mathrm T}+I$.
($B^{\mathrm T}$: matriz traspuesta de B, I: matriz identidad orden 3)

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función:
$$C(x)=\frac{ax}{x^2+4},\qquad x>0,\qquad (a:\ \text{número real})$$
siendo “x” el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

Dada la función $f(x)=\frac{ax^2+b}{x^3}$ (a, b: números reales), se pide: