La produccion de vino por hectareas (ha) de terreno en una comarca sigue una distribucion $N($$\mu\text{,} \sigma)$. Los datos historicos indican que solo en el 2% de los anos la produccion supera los 9000 kg/ha, mientras que en el 56% de los anos queda por debajo de los 8315 kg/ha. Calcula la media y la desviacion tipica de la distribucion.

Calcula la probabilidad de que la produccion supere los 8500 kg/ha en un ano elegido al azar.

La vela de un barco tiene forma de triangulo rectangulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea maxima.

Sea la funcion $f(x) = -x^2 + ax + 11$, donde $a$ es un parametro real. Calcula el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un maximo relativo en $x = 1/2$. Para ese valor de $a$ calcula el area encerrada entre las graficas de $f(x)$ y $f'(x)$.

a) Dado el sistema homogeneo $\begin{cases} 3x + y - z = 0 \\ 3x + 2y - mz = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$, indica para que valores de $m$ el sistema tiene solamente la solucion trivial. Resuelve para un valor de $m$ que lo haga compatible indeterminado.
b) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, resuelve el sistema $(A-\frac{1}{3}{A}^T)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ 1\end{array}\right)$$\left(A - \frac{1}{3}A^T\right)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, estudia el rango de $A -$$\lambda I$ segun los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$$\lambda \in \mathbb{R}$.
b) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}$, calcula su determinante. Que solucion tiene el sistema $AX = b$ siendo $b = (0$$\text{,}0\text{,}0\text{,}0)^T$?

a) Obten el valor de $m$ para el cual las rectas $r \equiv$$\frac{x-1}{2} = \frac{2y}{3} = 2z - 2$ y $s \equiv x = y = z - m$ se cortan. Calcula el punto de corte de $r$ y $s$ para el valor de $m$ calculado.
b) Se consideran los puntos $P = (0$$\text{,} 2\text{,} -1)$ y $Q = (2$$\text{,} -2\text{,} 1)$. Encuentra la ecuacion del plano $\pi$$\pi$ que cumple que los dos puntos son simetricos respecto a el.

a) Dada la recta $r: x-2 = y+1 = -z$, calcula la ecuacion de la recta $s$ que corta a $r$ perpendicularmente y que pasa por $Q = (2$$\text{,} -2\text{,} 1)$.
b) Dados los planos $mx + 2y - 3z - 1 = 0$ y $2x - 4y + 6z + 5 = 0$, halla los valores de $m$ para que sean: i) paralelos, ii) perpendiculares.