Se consideran las matrices $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & -a & -1 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$.
a) Calcule los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.
b) Para $a = 2$ calcule, si existe, la matriz $X$ que satisface $AX = B$.

Una empresa tecnológica se plantea la producción y lanzamiento de dos nuevos cables de fibra óptica, el modelo A2020 y el modelo B2020. El coste de producir un metro del modelo A2020 es igual a $2$ euros, mientras que el coste de producir un metro del modelo B2020 es igual a $0{,}5$ euros. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan al menos $6000$ metros de cable, aunque del modelo B2020 no podrán fabricarse más de $5000$ metros y debido al coste de producción no es posible fabricar más de $8000$ metros entre los dos modelos. Además se desea fabricar una cantidad de metros del modelo B2020 mayor o igual a la de metros del modelo A2020.
a) Represente la región factible y calcule las coordenadas de sus vértices.
b) Determine el número de metros que deben producirse de cada uno de los modelos para minimizar el coste.

Dada la función real de variable real definida por:
$$f(x) = \begin{cases} x^{2} - x - 1 & \text{si } x \leq 3 \\[4pt] \dfrac{3a}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$
a) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio. ¿Para ese valor de $a$ es $f(x)$ derivable?
b) Para $a = 1$, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que $P(A) = 0{,}5$, $P(\overline{B}) = 0{,}8$ y $P(A \cup \overline{B}) = 0{,}9$.
a) Estudie si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
b) Calcule $P(\overline{A}\,|\,\overline{B})$.

El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma = 8$ gramos.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $20$ huevos, obteniéndose una media muestral de $60$ gramos. Determine un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$.
b) Suponga que $\mu = 59$ gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de $10$ huevos, la media muestral, $\overline{X}$, esté comprendida entre $57$ y $61$ gramos.

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:
$$\left.\begin{aligned} x + 2ay + z &= 0 \\ -x - ay\phantom{\,+ z} &= 1 \\ \phantom{x +}\,{-y} - z &= -a \end{aligned}\right\}$$
a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.
b) Resuelva el sistema para $a = 3$.

Se considera la función real de variable real $f(x) = \dfrac{x^{3} - 2x^{2}}{(x - 1)^{2}}$.
a) Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.
b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Se sabe que la derivada de una función real $f(x)$ de variable real es:
$$f'(x) = 3x^{2} + 8x$$
a) Determine la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1) = 11$.
b) Determine los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los hubiera.

Un colegio tiene alumnos matriculados que residen en dos municipios distintos, $A$ y $B$, siendo el número de alumnos matriculados residentes en el municipio $A$ el doble de los del municipio $B$. Se sabe que la probabilidad de fracaso escolar si se habita en el municipio $A$ es de $0{,}02$, mientras que esa probabilidad si se habita en el municipio $B$ es de $0{,}06$. Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho colegio elegido al azar:
a) No sufra fracaso escolar.
b) Sea del municipio $A$ si se sabe que ha sufrido fracaso escolar.

El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma = 3$ minutos.
a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de $1$ minuto con un nivel de confianza del $95\,\%$.
b) Suponga que $\mu = 32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 16$ pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, $\overline{X}$, sea menor que $30{,}5$ minutos.