Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II — Ordinaria 2022

Se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$$
a) Determine los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.
b) Calcule $A^{-1}$ para $a = 1$.

El dueño de una empresa que organiza fiestas infantiles quiere hacer chocolate con leche y dispone para la mezcla de $30$ litros de leche y $20$ litros de chocolate líquido. Por cada litro de chocolate debe echar como máximo $3$ litros de leche, y por cada litro de leche debe echar como máximo $1{,}6$ litros de chocolate. Además, solo dispone de botellas para envasar $45$ litros de chocolate con leche. Por cada litro de leche de la mezcla puede obtener un beneficio de $1$ € y por cada litro de chocolate un beneficio de $2$ €. Determine cuántos litros de leche y de chocolate líquido debe mezclar para obtener el máximo beneficio y calcule el beneficio que se obtiene.

La figura dada representa la gráfica de cierta función $f$. La gráfica representada tiene tangentes horizontales en $x = -1$, $x = 1$, $x = 2$ y $x = 4$.
a) Determine razonadamente los intervalos en los que $f'(x) > 0$.
b) Determine razonadamente cuál es el signo de
$$\int_{-2}^{5} f(x)\,dx.$$

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0{,}6$, $P(A|B) = 0{,}4$ y $P(A|B^c) = 0{,}8$; siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$.
a) Calcule $P(B)$.
b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Una cementera rellena sacos de cemento cuyo peso en kilogramos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a $2$ kg.
a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño $20$ y se obtiene que su media muestral es $50$ kg. Determine un intervalo de confianza del $99\,\%$ para el peso medio de un saco de cemento.
b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que $1$ kilogramo, con un nivel de confianza del $90\,\%$.

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$:
$$\left\{\begin{array}{rcl} x + ay + z & = & a \\ ax - y - az & = & 0 \\ x + y + z & = & 1 \end{array}\right.$$
a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.
b) Resuelva el sistema para $a = 2$.

Considere la función real de variable real
$$f(x) = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}.$$
a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
b) Calcule $f'(x)$ y halle el valor de $f'(2)$.

Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble que su altura. Posteriormente, se fabricarán ambas figuras planas con un material que cuesta $16$ céntimos de euro/cm$^2$ para el cuadrado y $10$ céntimos de euro/cm$^2$ para el rectángulo. Si el alambre inicial mide $450$ cm, determine la función de coste total de ambas figuras. Obtenga la longitud de cada trozo de alambre para que el coste total de estas piezas sea mínimo.
Sugerencia: Exprese el coste total en función de la altura del rectángulo y utilice $3$ cifras decimales para realizar los cálculos.

Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de $52$ cartas de póker, en el que hay $13$ cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada.
a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes.
b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.

Considere una población donde observamos una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Sea $\overline{X}$ la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño $10$.
a) Determine el valor de $\sigma$ sabiendo que $I = (58{,}2;\ 73{,}8)$ es un intervalo de confianza del $95\,\%$ para $\mu$.
b) Si $\sigma = 20$, calcule $P(-10 < \overline{X} - \mu < 10)$.