Se considera la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ a & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$$

a) Determine los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.

b) Calcule $A^{-1}$ para $a = 1$.

Una empresa de fiestas infantiles dispone de 30 L de leche y 20 L de chocolate líquido para hacer chocolate con leche. Por cada litro de chocolate debe echar como máximo 3 litros de leche; y por cada litro de leche debe echar como máximo 1,6 litros de chocolate. Además, solo dispone de botellas para envasar 45 L de chocolate con leche. Por cada litro de leche de la mezcla obtiene un beneficio de 1 € y por cada litro de chocolate, 2 €. Determine cuántos litros de leche y de chocolate debe mezclar para obtener el máximo beneficio, y calcule ese beneficio.

La gráfica presenta una función $f$ con tangentes horizontales en $x=-1$, $x=1$, $x=2$ y $x=4$.

a) Determine razonadamente los intervalos en los que $f'(x) > 0$.

b) Determine razonadamente cuál es el signo de $\displaystyle\int_{-2}^{5} f(x)\,dx$.

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A)=0{,}6$, $P(A\mid B)=0{,}4$ y $P(A\mid B^c)=0{,}8$, siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$.

a) Calcule $P(B)$.

b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Una cementera rellena sacos de cemento cuyo peso en kilogramos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 2 kg.

a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es 50 kg. Determine un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de un saco de cemento.

b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 1 kilogramo, con un nivel de confianza del 90 %.

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in\mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + a\,y + z = a \\ a\,x - y - a\,z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$.

b) Resuelva el sistema para $a=2$.

Considere la función real de variable real

$$f(x) = \frac{x^{2}-x+1}{x-1}$$

a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).

b) Calcule $f'(x)$ y halle el valor de $f'(2)$.

Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble de su altura. Posteriormente, se fabricarán ambas figuras planas con un material que cuesta 16 cts/cm² para el cuadrado y 10 cts/cm² para el rectángulo. Si el alambre inicial mide 450 cm, determine la función de coste total en función de la altura del trozo de alambre para el rectángulo y calcule la altura para que el coste total de estas piezas sea mínimo.

De un mazo de 52 cartas de póquer (13 de cada palo) se elimina una carta al azar sin verla. A continuación, se extrae una carta de las 51 restantes y se observa.

a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes.

b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.

Considere una población donde observamos una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Sea $\bar X$ la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño 10.

a) Determine el valor de $\sigma$ sabiendo que $I=(58{,}2;\ 73{,}8)$ es un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.

b) Si $\sigma=20$, calcule $P(-10 < \bar X - \mu < 10)$.