Se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \end{pmatrix}$$
a) Determine $A^3$ y $A^{2023}$.
b) Estudie si $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Considere la función $f(x) = x^3 + 2x^2$.
a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.
b) Determine los extremos relativos de $f(x)$ indicando si son máximos o mínimos.

Considere la función $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3 &$$\text{si } x < 2 \\ e^x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a) Obtenga el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en su dominio.
b) Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 2$ y $x = 3$.

El 27,4% de mujeres españolas mayores de 16 años practica semanalmente alguna actividad física durante al menos 150 minutos (suceso $A$), y el 65,1% consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día (suceso $F$). Además, el 76,3% practica actividad física o consume fruta/verdura. Calcule la probabilidad de que:
a) Practique actividad física y consuma fruta/verdura.
b) No practique actividad física, sabiendo que no consume fruta/verdura.

Para estimar la proporción de empresas que tuvieron pérdidas durante el primer año de pandemia se tomó una muestra.
a) Con $P = 0{,}55$, determine el tamaño mínimo de la muestra para que, con confianza del 99,01%, el error no supere el 10%.
b) Si la muestra fue de 100 empresas y 70 tuvieron pérdidas, determine un intervalo de confianza al 95%.

Se considera el sistema $$\begin{cases} ax + y + 2z = 1 \\ x + ay + 2z = a \\ x + 2y + az = 1 \end{cases}$$
a) Discuta el sistema en función de $a$.
b) Resuelva para $a = 0$.

Una entrenadora debe diseñar una rutina con duración entre 45 y 60 minutos repartidos entre fuerza ($x$) y cardiovasculares ($y$). El tiempo de fuerza no puede superar al cardiovascular, pero debe ser al menos 20 minutos. El beneficio de un minuto cardiovascular es doble que uno de fuerza. ¿Qué duración resulta más y menos beneficiosa?

Considere la función $f(x) = x +$$\frac{2}{x}$.
a) Halle el dominio y determine sus asíntotas.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

En la convocatoria 2021 se presentaron 2159 solicitudes en modalidad general y 1316 en jóvenes doctores. El porcentaje de seleccionados: 16,1% general y 21,1% jóvenes. Eligiendo un investigador al azar:
a) Probabilidad de ser seleccionado.
b) Probabilidad de ser modalidad general, sabiendo que fue seleccionado.

La distancia diaria de un autobús urbano sigue distribución normal con media desconocida $\mu$$\mu$ y $\sigma =2$$\sigma = 2$ km.
a) Con $n = 20$ y $\bar{x}=50$$\bar{x} = 50$ km, determine un IC del 99%.
b) Tamaño mínimo para que el error sea menor que 1 km al 90%.