Se consideran las matrices $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
a) Determine $a, b, c$ para que $M$$\cdot N = 2N$ y $(N^t$$\cdot M)^t + M \cdot P = N$.
b) Para $a = 0, b = -1, c = -2$. Compruebe que $M^2 = M + 2I$ y calcule $M^{-1}$ y $M^3$.

a) Encuentre $a$ tal que $\int_0^1 ($$\sqrt{x} - a)\,dx = \frac{2}{3}$.
b) Sea $f(x) = \begin{cases} x^2 - b &$\text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}. Determine $b$ para continuidad y estudie la derivabilidad.

Sea $f(x)$ con derivada $f'(x) =$$\frac{-1}{x^2} + a$.
a) Obtenga $a$ para que $f$ pase por $(1, 3)$ y $(2, 7/2)$. Escriba $f(x)$.
b) Para $a = 1$, intervalos de crecimiento/decrecimiento y extremos.

Se considera $f(x) =$$\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$.
a) Determine las asíntotas.
b) Ecuación de la recta tangente en $x = 1$.

De entre todos los números reales no negativos y menores o iguales que 10, se buscan dos números tales que el doble del primero menos el segundo no pase de 10, y el triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12. Se desea que su suma sea lo menor posible.

En una tienda hay 70 instrumentos: guitarras, pianos y violines. La cantidad de pianos más violines es igual a las guitarras. Si tuviéramos el mismo número de violines, el doble de pianos y cuatro veces el de guitarras, el total sería 180. Determine el número de cada tipo.

$$\begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + y + z = 0 \\ 8x + ay + 5z = 2 \end{cases}$$
a) Discuta para los diferentes valores de $a$.
b) Resuelva para $a = 3$.

La observación meteorológica para días de otoño en Madrid: nublado el 50%, temperatura baja de 10 grados el 7% de los días. El 35% de los días son nublados o la temperatura baja de 10 grados. Eligiendo un día al azar:
a) P(nublado y temperatura baje de 10).
b) P(no nublado | temperatura no baja de 10).

Nota: Los datos del enunciado son inconsistentes ya que $P(N \cup T) = 0{,}35 < P(N) = 0{,}50$, lo cual es imposible. Resolvemos formalmente aplicando la fórmula.

El porcentaje de aprobados en primer año sigue $N($$\mu, 8)$.
a) Con $n = 20$ y $\bar{x}=65$$\bar{x} = 65$, determine un IC al 99%.
b) Si $\mu =67$$\mu = 67$, calcule $P(65$$\leq \bar{X} \leq 69)$ con $n = 10$.

El 45,68% de familias tiene renta 1500-3000 euros y el 23,98% más de 3000. Con menos de 1500 viaja el 10%, con 1500-3000 viaja el 40%, con más de 3000 viaja el 85%.
a) P(viaje por vacaciones).
b) P(ingreso > 1500 | viaja).