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Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas CCSS — Extraordinaria 2025

Madrid4 problemas · Elegir opción100% Resuelto

Pregunta 1

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Distribución normal e intervalos de confianza

Aproximación binomial-normal y estimación por intervalo

Una encuesta en la red social Rettiwt recoge las respuestas de 288 compradores verificados del smartphone P25; 20 de ellos reportan sobrecalentamiento. La empresa Pear afirma que el defecto afecta solo al 2 % de dispositivos.

Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto (

p = 0{,}02

), calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados hubiese sido superior o igual a 11.

(1,25 ptos)

Obtenga un intervalo del 99 % de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?

(1,25 ptos)

Pregunta 2

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Discusión de sistemas

Discusión y resolución de sistema con parámetro

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real

a

\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 3 \\ (a+1)x + az = 5 \end{cases}

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real

a

(1,25 ptos)

Resuelva el sistema para

a = 2

(1,25 ptos)

Pregunta 3

2,5 puntos(2 + 0,5)

Programación lineal

Región factible y optimización lineal

Sean

x

y

dos números reales tales que

x \geq -6

y \geq 0

-x + y \leq 8

x + 4y \leq 12

x + y \leq 6

Represente gráficamente la región

S

determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices.

(2 ptos)

Se desea maximizar el doble de

y

menos el triple de

x

S

. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza.

(0,5 ptos)

Pregunta 4

2,5 puntos(1 + 0,5 + 1)

Integrales

Primitiva con condiciones, área y recta tangente

Considere la función

f(x) = x(x^2 + a)

con

a > 0

parámetro real.

Calcule el valor de

a

para que la primitiva

F(x)

cumpla

F(0) = 0

F(1) = 1

(1 pto)

Para

a = \tfrac{3}{2}

, obtenga el área del recinto delimitado por

f(x)

, el eje horizontal y las rectas

x = 0

x = 2

(0,5 ptos)

Halle los valores de

a

que hacen que la pendiente de la recta tangente a

f(x)

x = 1

sea 1.

(1 pto)

Pregunta 5

2,5 puntos(0,5 + 0,5 + 1,5)

Continuidad y asíntotas

Dominio, continuidad y asíntotas de función a trozos

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2x-1} & \text{si } x < 0 \\[6pt] \dfrac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

Determine el dominio de

f(x)

(0,5 ptos)

Estudie la continuidad de

f(x)

x = 0

(0,5 ptos)

Calcule las asíntotas de

f(x)

(1,5 ptos)

Pregunta 6

2,5 puntos(0,75 + 0,75 + 1)

Probabilidad condicionada

Sucesos independientes y probabilidad condicionada

Sean

A

B

C

tres sucesos.

A

B

son independientes. Se sabe:

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}7

P(C) = 0{,}5

P(A \cap \bar{B} \mid C) = 0{,}2

Calcule la probabilidad de que no ocurra

A

o no ocurra

B

(0,75 ptos)

Determine la probabilidad de que

A

\bar{B}

ocurran simultáneamente.

(0,75 ptos)

Obtenga

P(C \mid A \cap \bar{B})

(1 pto)

Pregunta 7

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Teorema de Bayes

Prueba diagnóstica veterinaria con Bayes

En una clínica veterinaria se utiliza una prueba para detectar insuficiencia renal en gatos adultos. El 5 % padece insuficiencia renal. Si la tiene, la prueba da positivo el 90 % de las veces. Si no la tiene, da positivo el 10 %.

Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba.

(1,25 ptos)

La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal?

(1,25 ptos)

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