Sea A una matriz de tamaño 3×4 tal que sus dos primeras filas son (1, 1, 1, 1) y (1, 2, 3, 4), y sin ningún cero en
la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz A que verifique la
condición pedida, justificándolo apropiadamente:
a) (0.5 puntos) La tercera fila de A es combinación lineal de las dos primeras.
b) (0.5 puntos) Las tres filas de A son linealmente independientes.
c) (0.5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.
d) (0.5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.
e) (0.5 puntos) A es la matriz ampliada de un sistema incompatible.

Dada la función f(x) =
x −1
x2 −1
si x < 1, x ̸= −1
x2 + 1
4x
si x ≥1
, se pide:
a) (0.5 puntos) Calcular f(0) y (f ◦f)(0).
b) (1.25 puntos) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x) en x = 1 y determinar si en dicho punto existe
un extremo relativo.
c) (0.75 puntos) Estudiar sus as´ıntotas.

Dados el punto P(3, 3, 0) y la recta r ≡x −2
−1
= y
1 = z + 1
0
, se pide:
a) (0.75 puntos) Escribir la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r.
b) (1 punto) Calcular el punto simétrico de P respecto de r.
c) (0.75 puntos) Hallar dos puntos A y B de r tales que el triángulo ABP sea rectángulo, tengaárea
3
√
2 y elángulo recto en A.

Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 4 bolas rojas y 2 negras, la urna B contiene 3 bolas de cada
color y la urna C contiene 6 bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera
consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extra´ıda sea roja.
b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extra´ıda sea roja y la segunda sea negra.
c) (0.5 puntos) Sabiendo que la primera bola extra´ıda es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea
negra.
Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas.

Sean las matrices A =
0
−1
2
2
1
−1
1
0
1
, I =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, B =
2
−1
1
0
0
1
. Se pide:
a) (1 puntos) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A.
b) (0.5 puntos) Calcular la matriz C = A2 −2 I.
c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz D = ABBt (donde Bt denota la matriz traspuesta de B).

La potencia generada por una pila viene dada por la expresión P(t) = 25 t e−t2/4, donde t > 0 es el tiempo de
funcionamiento.
a) (0.5 puntos) Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento
indefinidamente.
b) (0.75 puntos) Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.
c) (1.25 puntos) La energ´ıa total generada por la pila hasta el instante t, E(t), se relaciona con la potencia
mediante E′(t) = P(t), con E(0) = 0. Calcular la energ´ıa producida por la pila entre el instante t = 0 y el
instante t = 2.

Del paralelogramo ABCD, se conocen los vértices consecutivos A(1, 0, −1), B(2, 1, 0) y C(4, 3, −2). Se pide:
a) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento AC y es perpendicular
a los segmentos AC y BC.
b) (1 punto) Hallar las coordenadas del vértice D y elárea del paralelogramo resultante.
c) (0.5 puntos) Calcular el coseno delángulo que forman los vectores −−→
AB y −→
AC.

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes X, Y. Sabemos que P(X)
=
0.4 y que
P(X ∩Y ) = 0.08 (donde Y es el suceso complementario de Y ). Se pide:
a) (1 punto) Calcular P(Y ).
b) (0.5 puntos) Calcular P(X ∪Y ).
c) (1 punto) Si X es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es unéxito
cuando NO sucede X, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenidoéxito al menos 2 veces.