¿Cuántos problemas tiene el examen de Matemáticas II Extraordinaria 2021 en Madrid?

Este examen oficial consta de 8 problemas. Bloques: Álgebra, Análisis, Geometría, Probabilidad.

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Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2021

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Temas de Matemáticas II evaluados en esta convocatoria

#Álgebra#Análisis#Geometría#Probabilidad

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Criterios generales de corrección de Matemáticas II, Madrid, curso 2021

[puntuacion] Por plantear correctamente cada ecuación: 0.5 puntos. Resolución correcta del sistema planteado: 1 punto. Se darán como máximo 0.5 puntos si se resuelve correctamente un sistema que esté mal planteado. (+2.5 pts)
[puntuacion] a.1) Por cada aplicación correcta de L'Hôpital: 0.25 puntos. a.2) Por el cambio de variable: 0.5 puntos. Aplicación de L'Hôpital: 0.25 puntos. b.1) Por resolver correctamente la integral: 0.5 puntos. b.2) Por cada integración por partes correcta: 0.25 puntos. Por aplicar correctamente la regla de Barrow: 0.25 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.25 puntos. b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.25 puntos. c) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.5 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] a) Planteamiento: 0.75 puntos. Resolución: 0.25 puntos. b) Uso correcto de las fórmulas de Bayes y de la probabilidad total: 1 punto. Resolución: 0.5 puntos. (+2.5 pts)
[puntuacion] En los apartados a) y c), dar el ejemplo 0.5 puntos; justificación de que cada ejemplo cumple el enunciado, 0.25 puntos. En el apartado b), llegar al sistema 0.75 puntos; justificación, 0.25 puntos. (+2.5 pts)

+3 criterios adicionales, expandibles en cada problema.

Solución paso a paso del examen Matemáticas II selectividad Madrid Extraordinaria 2021

Solución paso a paso · Navegable (sin descarga)

Modelo A

Modelo A — Pregunta 1

2.5 pts

Álgebra

Sistema de ecuaciones lineales aplicado (seguidores en una red social)

Tres amigas, Sara, Cristina y Jimena, tienen un total de 15.000 seguidores en una red social. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores todavía tendría el triple de seguidores que Sara. Además, la mitad de los seguidores de Sara más la quinta parte de los de Cristina suponen la cuarta parte de los seguidores de Jimena. Calcule cuántos seguidores tiene cada una de las tres amigas.

Álgebra también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Álgebra

Modelo A — Pregunta 2

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

Límites por L'Hôpital y cálculo de integrales

a) (1.25 puntos) Calcule, en caso de existir, el valor de los siguientes límites:
a.1) (0.5 puntos)

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}(1-2x)}{x-2x^{2}-\operatorname{sen} x}

a.2) (0.75 puntos)

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{\operatorname{sen}\frac{1}{x}}\right)

(Indicación: use el cambio de variable

t=1/x

donde sea necesario).
b) (1.25 puntos) Calcule las siguientes integrales:
b.1) (0.5 puntos)

\displaystyle\int\dfrac{x}{x^{2}-1}\,dx

b.2) (0.75 puntos)

\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx

a.1)

Límite con L'Hôpital

(0.5 pts)

a.2)

Límite con cambio de variable

(0.75 pts)

b.1)

Integral inmediata logarítmica

(0.5 pts)

b.2)

Integral por partes y Barrow

(0.75 pts)

Análisis también cae en 24 convocatorias másMás problemas PAU de Análisis

Modelo A — Pregunta 3

2,5 puntos(0,75 + 0,75 + 1)

Geometría

Ángulos, distancias y rectas en el espacio

Dado el punto

A(1,0,-1)

, la recta

r\equiv x-1=y+1=\dfrac{z-2}{2}

y el plano

\pi\equiv x+y-z=6

, se pide:
a) (0.75 puntos) Hallar el ángulo que forman el plano

\pi

y el plano perpendicular a la recta

r

que pasa por el punto

A

.
b) (0.75 puntos) Determinar la distancia entre la recta

r

y el plano

\pi

.
c) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por

A

, forma un ángulo recto con la recta

r

y no corta al plano

\pi

Ángulo entre dos planos

(0.75 pts)

Distancia recta-plano

(0.75 pts)

Recta perpendicular a r y paralela a π por A

(1 pt)

Geometría también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Geometría

Modelo A — Pregunta 4

2,5 puntos(1 + 1,5)

Probabilidad

Urna con bolas: probabilidad compuesta y Bayes

En una urna hay dos bolas blancas y cuatro bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si la bola extraída es blanca, se devuelve a la urna y se añade otra bola blanca; si es negra, no se devuelve a la urna. A continuación, se vuelve a extraer una bola al azar de la urna.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color?
b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra, sabiendo que la segunda ha sido blanca?

Probabilidad de bolas de distinto color

(1 pt)

Probabilidad inversa por Bayes

(1.5 pts)

Probabilidad también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Probabilidad

Modelo B

Modelo B — Pregunta 5

2,5 puntos(0,75 + 1 + 0,75)

Álgebra

Construcción de sistemas lineales con soluciones prefijadas

a) (0.75 puntos) Encuentre un único sistema de dos ecuaciones lineales en las variables

x

y

, que tenga como soluciones

\{x=1,y=2\}

\{x=0,y=0\}

.
b) (1 punto) Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables

x

y

z

cuyas soluciones sean, en función del parámetro

\lambda\in\mathbb{R}

\left\{\begin{aligned} x &= \lambda\\ y &= \lambda-2\\ z &= \lambda-1\end{aligned}\right.

c) (0.75 puntos) Encuentre un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas,

x

y

, que solo tenga como solución a

x=1

y=2

Sistema con dos soluciones particulares dadas

(0.75 pts)

Sistema con familia de soluciones paramétrica

(1 pt)

Sistema 3×2 con solución única

(0.75 pts)

Álgebra también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Álgebra

Modelo B — Pregunta 6

2,5 puntos(0,75 + 1 + 0,75)

Análisis

Continuidad, extremos y área bajo una función con valor absoluto

Sea la función

f(x)=x^{3}-\lvert x\rvert+2.

a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de

f

x=0

.
b) (1 punto) Determine los extremos relativos de

f(x)

en la recta real.
c) (0.75 puntos) Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de

f

, el eje de abcisas

y=0

, y las rectas

x=-1

x=1

Continuidad y derivabilidad en x=0

(0.75 pts)

Extremos relativos en R

(1 pt)

Área entre la gráfica y el eje OX en [-1,1]

(0.75 pts)

Análisis también cae en 24 convocatorias másMás problemas PAU de Análisis

Modelo B — Pregunta 7

2,5 puntos(1,5 + 1)

Geometría

Perpendicular común y distancia entre dos rectas

Dadas las rectas

r\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+4}{-3},\qquad s\equiv\left\{\begin{aligned} x+z &= 2 \\ -2x+y-2z &= 1\end{aligned}\right.

a) (1.5 puntos) Escriba una ecuación de la recta perpendicular común a

r

y a

s

.
b) (1 punto) Calcule la distancia entre

r

s

Recta perpendicular común

(1.5 pts)

Distancia entre las dos rectas

(1 pt)

Geometría también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Geometría

Modelo B — Pregunta 8

2,5 puntos(1 + 1,5)

Probabilidad

Aproximación binomial-normal con corrección de continuidad

Según las estadísticas meteorológicas, en una ciudad nórdica llueve un promedio del 45 % de los días. Un climatólogo analiza los registros pluviométricos de 100 días elegidos al azar entre los de los últimos 50 años.
a) (1 punto) Exprese cómo calcular con exactitud la probabilidad de que en 40 de ellos haya llovido.
b) (1.5 puntos) Calcule dicha probabilidad aproximándola mediante una normal.

Expresión exacta con la binomial

(1 pt)

Aproximación normal con corrección por continuidad

(1.5 pts)

Probabilidad también cae en 22 convocatorias másMás problemas PAU de Probabilidad

✍ Resuelto por el equipo de Selectividad Academy

Sobre el examen PAU Matemáticas II Madrid Extraordinaria 2021

Esta convocatoria extraordinaria 2021 del examen de Matemáticas II en Madrid consta de 8 problemas. Se evaluaron 4 bloques: Álgebra, Análisis, Geometría y Probabilidad. La corrección sigue los criterios oficiales publicados por la administración educativa de Madrid.