Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos ($x$), intermedios ($y$) y cortos ($z$). Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

Para la función $f(x) = x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4$, se pide:
a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x = \pi$.
b) Probar que $f(x)$ tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo $(-\pi, 0)$ utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.
c) Si $g(x) = f(-x)$, calcular el área entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, \pi]$.

Dados los puntos $A(0, 0, 1)$ y $B(1, 1, 0)$, se pide:
a) Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $z = 0$.
b) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, $r_1$ y $r_2$, que pasen por los puntos $A$ y $B$ respectivamente, estén en el plano $x + z = 1$ y tales que la distancia entre ellas sea 1.

Sabiendo que $P(\bar{A}) = \dfrac{11}{20}$, $P(A|B) - P(B|A) = \dfrac{1}{24}$ y $P(A \cap \bar{B}) = \dfrac{3}{10}$, se pide:
a) Calcular $P(A \cap B)$ y $P(B)$.
b) Calcular $P(C)$, siendo $C$ otro suceso del espacio muestral, independiente de $A$ y que verifica que $P(A \cup C) = \dfrac{14}{25}$.

Consideremos las matrices $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$, con $b \neq 0$.
a) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1} = A$.
b) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$.
c) Resolver el sistema $$B\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ para $b = 1$.

Calcule:
a) $\displaystyle\int_1^e (x + 2) \ln x\, dx$
b) $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x)^{\frac{2}{1 - \cos x}}$

Se sabe que $P_1(1, 1, 1)$, $P_2(2, 1, 0)$ y $P_3(1, 3, 2)$, pero del cuarto punto $P_4(3, a, 3)$ no conocemos su segunda coordenada.
a) El volumen del tetraedro es $V = 1$ y ninguna arista supera 10. Determinar los posibles valores de $a$.
b) Dado $Q(3, 3, 3)$, hallar los 8 vértices del paralelepípedo con aristas $P_1P_2$, $P_1P_3$ y $P_1Q$.

Tenemos un dado azul y uno rojo (caras 1–6). Si el dado azul sale par, la puntuación es azul + 2 $\cdot$ rojo; si sale impar, la puntuación es azul + rojo.
a) Probabilidad de puntuación 10. Probabilidad de puntuación impar.
b) Probabilidad de azul par sabiendo que la puntuación es 8. Probabilidad de rojo impar sabiendo que la puntuación es par.