CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Sean las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$ y $$B = \begin{pmatrix} a & b \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$$.

a) Calcular el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla: $AB = BA$. (1 punto)

b) Para $a = 1$ y $b = 0$, resuelva la ecuación $XB - A = I$, siendo $$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$. (1,5 puntos)

CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Sea el sistema de inecuaciones:

$$\left.\begin{aligned} 3x + y &\leq 12 \\ y &\geq \tfrac{x}{2} - 2 \\ x - 2y &\geq -3 \\ 2x + 3y &\geq 1 \end{aligned}\right\}$$

a) Representar gráficamente la región $S$ del plano definida por el sistema y determine los vértices de dicha región. (1,5 puntos)

b) Calcular los puntos de la región $S$ donde la función $f(x,y) = 3x - 2y$ alcanza sus valores máximo y mínimo. (1 punto)

CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) En un concierto celebrado en Murcia se ha estimado el número de miles de jóvenes que han asistido a él en función de la hora de llegada, $t$, mediante la función

$$f(t) = \frac{10}{(t - 6)^{2} + 1}.$$

Hallar la hora en la que había el mayor número de personas en el concierto. ¿Cuál fue esa cantidad máxima? Razone la respuesta.

CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = ax^{2} + 3x + \dfrac{b}{x}$:

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1, 2)$ y determine si ese extremo es un máximo o un mínimo. (1,5 puntos)

b) Si en la función anterior $a = 2$ y $b = 0$, determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$. (1 punto)

CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x) = -x^{2} + 4$ y $g(x) = x^{2}$. Calcular su área.

CUESTIÓN 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = x\,e^{x^{2}}$:

a) Hallar la pendiente de esta función en el punto $x = 0$. (1 punto)

b) Calcular $\displaystyle\int x\,e^{x^{2}}\,dx$. (1 punto)

c) Calcular $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx$. (0,5 puntos)

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Se dispone de tres cajas con bolas de distintos colores. La primera contiene 10 bolas: 4 azules y 6 blancas. En la segunda caja hay una única bola azul y 5 blancas. En la tercera caja tenemos 3 bolas azules y 5 blancas. Cogemos una bola al azar de cualquiera de las cajas:

a) Calcule la probabilidad de que la bola cogida sea azul. (1 punto)

b) Si la bola elegida es blanca, calcule la probabilidad de que estuviera en la primera caja. (1,5 puntos)

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos) Dados dos sucesos de un experimento aleatorio $A$ y $B$ tales que $P(\overline{A}) = 0{,}45$, $P(B) = 0{,}35$ y $P(A \cup B) = 0{,}7$, calcular las siguientes probabilidades:

a) $P(A)$. (0,5 puntos)

b) $P(A \cap B)$. (1 punto)

c) $P(B / A)$. (0,5 puntos)

d) $P(\overline{A} / \overline{B})$. (0,5 puntos)