CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Dadas las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}; \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.$$

Realiza las siguientes operaciones:

a) El producto $A\cdot B$. (0,5 puntos)

b) La inversa $C^{-1}$. (0,5 puntos)

c) La diferencia $D - A\cdot B$. (0,5 puntos)

d) Resuelve la ecuación matricial: $A\cdot B + C\cdot X = D$; es decir, calcula la matriz $X$. (1 punto)

CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Sea $S$ la región del plano delimitada por el sistema de inecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y \leq 10 \\ x + y \geq 2 \\ 0 \leq x \leq 8 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

a) Represente la región $S$ y calcule sus vértices. (2 puntos)

b) Determine los puntos de la región factible donde la función $f(x,y) = 2x + y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores. (0,5 puntos)

CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) El número de espectadores, en miles de personas, en unas competiciones de atletismo durante las 5 primeras horas de realización de estas pruebas, viene dada por la función $P(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 4$, donde $x$ representa el número de horas, $1 \leq x \leq 5$. Determine:

a) ¿En qué intervalo aumenta el número de espectadores a la competición? (1 punto)

b) ¿Cuándo hay un mayor número de espectadores?, ¿cuántos son? (0,75 puntos)

c) ¿En qué hora hay menos espectadores?, ¿cuántos son? (0,75 puntos)

CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Dada la función:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{ax + b}{x} & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ \sqrt{x^3 + 1} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

a) Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. (1,5 puntos)

b) Determine la derivada $f'(x)$ para $x > 2$. (1 punto)

CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}$, calcule:

a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. (0,5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

CUESTIÓN 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$:

a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$ en el punto $x = 1$. (1,25 puntos)

b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 2}$, el eje de abscisas y la recta $x = 1$. (1,25 puntos)

CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Calcular el área de la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 2$ y representar gráficamente esta región.

CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)

a) Al 45% de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40% jugar al dominó y al 23% jugar a las cartas y al dominó. Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las siguientes probabilidades:

i. Que juegue a las cartas o al dominó. (0,5 puntos)

ii. Que no juegue ni a las cartas ni al dominó. (0,5 puntos)

iii. Que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó. (0,5 puntos)

b) La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida $\mu$ y una desviación típica de $4$ cm. Se toma una muestra aleatoria de $16$ estudiantes de la clase obteniendo una estatura media de $172$ cm. Hallar un intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del $99\%$. (1 punto)