Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$, $$D=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$, realiza las siguientes operaciones:
a) El producto $A\cdot B$. (0,5 puntos)
b) La inversa $C^{-1}$. (0,5 puntos)
c) La diferencia $D-A\cdot B$. (0,5 puntos)
d) Resuelve la ecuación matricial $A\cdot B+C\cdot X=D$, es decir calcula la matriz $X$. (1 punto)
Nota: Para que las operaciones tengan sentido (A·B 2×2, C·X 2×2 con C 2×2), se interpreta $B$ como $2\times 2$: $$B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ (las dimensiones del PDF original parecen sugerir esta lectura por compatibilidad).

Sea $S$ la región del plano delimitada por el sistema de inecuaciones:
$$\begin{cases} x+2y\le 10 \\ x+y\ge 2 \\ 0\le x\le 8 \\ y\ge 0 \end{cases}$$
a) Represente la región $S$ y calcule sus vértices. (2 puntos)
b) Determine los puntos de la región factible donde la función $f(x,y)=-2x+y$ alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores. (0,5 puntos)

El número de espectadores, en miles de personas, en unas competiciones de atletismo durante las 5 primeras horas de realización de estas pruebas, viene dado por la función $P(x)=x^3-6x^2+9x+4$, donde $x$ representa el número de horas, $1\le x\le 5$. Determine:
a) ¿En qué intervalo aumenta el número de espectadores a la competición? (1 punto)
b) ¿Cuándo hay un mayor número de espectadores? ¿Cuántos son? (0,75 puntos)
c) ¿En qué hora hay menos espectadores? ¿Cuántos son? (0,75 puntos)

Dada la función
$$f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si } x<1 \\ \dfrac{ax+b}{x} & \text{si } 1\le x\le 2 \\ \sqrt{x^2+1} & \text{si } x>2 \end{cases}$$
a) Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. (1,5 puntos)
b) Determine la derivada $f'(x)$ para $x>2$. (1 punto)

Dada la función $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$, calcule:
a) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)
b) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. (0,5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)
d) Máximos y mínimos locales. (0,5 puntos)

Dada la función $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}$:
a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}$ en el punto $x=1$. (1,25 puntos)
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}$, el eje de abscisas y la recta $x=1$. (1,25 puntos)

Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+2$ y calcular su área.

a) Al 45% de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40% jugar al dominó y al 23% jugar a las cartas y al dominó. Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las probabilidades de:
i. Que juegue a las cartas o al dominó. (0,5 puntos)
ii. Que no juegue ni a las cartas ni al dominó. (0,5 puntos)
iii. Que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó. (0,5 puntos)
b) La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida $\mu$ y una desviación típica de 4 cm. Se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes de la clase obteniendo una estatura media de 172 cm. Hallar un intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99%. (1 punto)