[0,5 puntos] Calcula el valor de $a$ para que $$|A| = \begin{vmatrix} a & a^2 \\ 2a-1 & a \end{vmatrix} = 0$$.

[2 puntos] Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $a$ es un número real desconocido:

$$\begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x - y + 2z = 2 \\ x + az = 4 \end{cases}$$

a) Discute el sistema de ecuaciones según los valores de $a$. [1 punto]

b) Resuelve el sistema para $a = 1$. [1 punto]

[2,5 puntos] El famoso tiktoker Peldanhos produce vídeos tanto para TikTok como para YouTube. Cada vídeo de TikTok le genera 40 euros de ingresos, mientras que cada vídeo de YouTube le genera 20 euros. Hay tres fases en el proceso de creación de vídeos: planificación, grabación y edición. La planificación de contenido para TikTok requiere 4 horas por vídeo, mientras que para YouTube solo requiere 1 hora. Peldanhos dispone de 36 horas semanales para planificar contenido. Cada vídeo de TikTok requiere 1 hora de grabación, mientras que cada vídeo de YouTube requiere 2 horas. Peldanhos dispone de un máximo de 20 horas semanales para grabar. Finalmente, para la edición Peldanhos emplea 1 hora para cada uno de los dos tipos de vídeos y puede dedicar hasta 12 horas semanales a la edición. Se pide:

[3 puntos] Dada la función:

$$f(x) = \frac{-9 + x^2}{x^2 - 4}$$

[3 puntos] El beneficio mensual en euros de la hamburguesería Jamburguer, que el verano pasado abrió sus puertas en un conocido centro comercial de Murcia, viene dado por:

$$B(x) = 144x - 0\text{,}1x^2 - 50000$$

donde $x$ es el número de hamburguesas vendidas mensualmente.

[2 puntos] Realiza:

a) Calcula $\displaystyle\int \left(\frac{2}{x-1} + 3\sqrt{x}\right) dx$. [0,25 puntos]

b) Calcula el área limitada por la función $f(x) = -x^2 + 4x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 4$. [1,75 puntos]

[2 puntos] Realiza:

a) Calcula $\displaystyle\int \left(\frac{1}{x} + 3\sqrt{x} + \frac{1}{3}e^{3x}\right) dx$. [0,25 puntos]

b) Calcula el área limitada por la función $f(x) = 4 - x^2$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$. [1,75 puntos]

[2,5 puntos] En una encuesta realizada por el Departamento de Orientación de un instituto a 100 estudiantes de segundo de bachillerato, se obtuvo que 30 de ellos quieren estudiar Veterinaria, 25 Economía, 20 Química, 15 Biología y 10 Matemáticas. De ellos, 10, 12, 13, 8 y 6 son mujeres, respectivamente. Además, la orientadora del centro les ha informado que no es posible que se matriculen en más de un grado.

[2,5 puntos] El número de horas semanales que los estudiantes de segundo de bachillerato de una pedanía de Murcia dedican a ver series en inglés en HBO Max sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a 2 horas.