Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\text{, } B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$
a) Calcula $C^2$. [0,25 puntos]
b) Halla $A + B + C^2$. [0,25 puntos]
c) Encuentra $(A - B)^{-1}$. [0,25 puntos]
d) Resuelve la ecuación matricial $AX - BX = A + B + C^2$. [0,75 puntos]
[1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:
$$\begin{cases} 3x + 2y - z = 3 \\ x - y + 2z = 4 \\ 2x + 3y - z = 3 \end{cases}$$

Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene 400 euros de beneficio por cada notebook y 500 euros por cada gaming. El proceso de fabricación es complejo y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan 2, 1 y 1 horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan 1, 4 y 2 horas. En cada fase hay un límite de 14, 16 y 10 horas diarias. Se pide:
a) Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]
b) Representa la región factible. [0,75 puntos]
c) Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos]
d) ¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos]
e) Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]

Dada la función:
$$f(x) = \frac{x^2 + 3}{1 - x}$$
a) Determina su dominio. [0,5 puntos]
b) Estudia sus asíntotas. [0,75 puntos]
c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]
d) Calcula los máximos y mínimos locales. [0,75 puntos]

El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función:
$$N(t) = \frac{20t}{(t+1)^2}$$
donde $0 \leq t \leq 5$ y $N$ es el número de miles de asistentes $t$ horas después del comienzo. Se pide:
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de $N(t)$. [1 punto]
b) Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos]
c) Evalúa e interpreta la derivada de la función $N(t)$ en $t = 2$. [0,25 puntos]
d) Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]

Realiza:
a) Si $\int_0^2 f(x)\,dx = 4$, ¿a qué es igual $\int_0^2 [f(x) + 3]\,dx$? [0,25 puntos]
b) Representa gráficamente el recinto del plano limitado por $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x + 3$. Calcula su área. [1,75 puntos]

Realiza:
a) Calcula los valores de los límites de integración $a$ y $b$ de manera que se cumpla $\int_{-1}^{a} f(x)\,dx + \int_{b}^{8} f(x)\,dx = \int_{-1}^{8} f(x)\,dx$. [0,25 puntos]
b) Dada la función $f(x) = \frac{1}{2}e^{x/2}$:
b.1) Escribe la integral que describe el área de la región sombreada. [0,5 puntos]
b.2) Calcula el área. [1,25 puntos]

Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1.000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos]
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]
d) Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a 12 kg.
a) Si en una muestra de 64 jugadores el peso medio ha sido de 70 kg, calcula un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto]
b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que 4 kg con un nivel de confianza del 98%. [0,75 puntos]
c) Si $\mu = 71$ y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de 75 kg? [0,75 puntos]