APARTADO 1 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1: [2,5 puntos]

[1,5 puntos] Dadas las matrices $A$, $B$ y $C$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

a) Calcula $C^2$. [0,25 puntos]

b) Halla $A + B + C^2$. [0,25 puntos]

c) Encuentra $(A - B)^{-1}$. [0,25 puntos]

d) Resuelve la ecuación matricial $AX - BX = A + B + C^2$. [0,75 puntos]

[1 punto] Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 3x + 2y - z = 3 \\ x - y + 2z = 4 \\ 2x + 3y - z = 3 \end{cases}$$

CUESTIÓN 2:

[2,5 puntos] Una empresa del sector informático produce dos tipos de ordenadores portátiles: notebooks y gaming. La empresa obtiene $400$ euros de beneficio por cada notebook y $500$ euros por cada gaming. El proceso de fabricación es complejo y tiene tres fases: (1) selección y fabricación de componentes; (2) ensamblaje y (3) control de calidad. Los notebooks necesitan $2$, $1$ y $1$ horas en cada fase, respectivamente, mientras que los gaming necesitan $1$, $4$ y $2$ horas. En cada fase hay un límite de $14$, $16$ y $10$ horas diarias. Se pide:

a) Si la empresa quiere maximizar el beneficio diario, formula el problema, identificando la función objetivo y las restricciones. [0,5 puntos]

b) Representa la región factible. [0,75 puntos]

c) Encuentra los vértices de esta región. [0,5 puntos]

d) ¿Cuántos ordenadores portátiles de cada tipo hay que producir para maximizar los beneficios diarios? [0,5 puntos]

e) Calcula el beneficio máximo diario posible. [0,25 puntos]

APARTADO 2 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1:

[3 puntos] Dada la función:

$$f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{1 - x}$$

a) Determina su dominio. [0,5 puntos]

b) Estudia sus asíntotas. [0,75 puntos]

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

d) Calcula los máximos y mínimos locales. [0,75 puntos]

CUESTIÓN 2:

[3 puntos] El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función:

$$N(t) = \dfrac{20t}{(t+1)^2}$$

donde $0 \leq t \leq 5$ y $N$ es el número de miles de asistentes $t$ horas después del comienzo. Se pide:

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función $N(t)$. [1 punto]

b) Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos]

c) Evalúa e interpreta la derivada de la función $N(t)$ en $t = 2$. [0,25 puntos]

d) Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]

APARTADO 3 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1:

[2 puntos] Realiza:

a) Si $\int_0^2 f(x)\,dx = 4$, ¿a qué es igual $\int_0^2 [f(x) + 3]\,dx$? [0,25 puntos]

b) Representa gráficamente el recinto del plano limitado por $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x + 3$. Calcula su área. [1,75 puntos]

CUESTIÓN 2:

[2 puntos] Realiza:

a) Calcula los valores de los límites de integración $a$ y $b$ de manera que se cumpla $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx + \int_{1}^{5} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$. [0,25 puntos]

b) Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{2}e^{x/2}$:

b.1) Escribe la integral que describe el área de la región sombreada (la región sombreada en el examen es la encerrada bajo la curva $y = \tfrac{1}{2}e^{x/2}$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 4$). [0,5 puntos]

b.2) Calcula el área. [1,25 puntos]

APARTADO 4 (a elegir una cuestión):

CUESTIÓN 1:

[2,5 puntos] Un grupo de investigadores de la Universidad de Murcia realizó una encuesta en la que se preguntó a 1.000 personas adultas su opinión sobre establecer una edad legal para que los niños tengan teléfono móvil. Según los resultados, 560 personas, de las que 390 eran mujeres, opinaron a favor de esta medida. De las 440 personas que opinaron en contra, 280 eran hombres. Si se selecciona una persona al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,25 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer o esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

d) Si esa persona seleccionada al azar es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté a favor de esta medida? [0,75 puntos]

CUESTIÓN 2:

[2,5 puntos] El peso, en kg, de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica igual a $12$ kg.

a) Si en una muestra de $64$ jugadores el peso medio ha sido de $70$ kg, calcula un intervalo de confianza con un $95\%$ de confianza para la media de los pesos de los jugadores de fútbol de la Liga Nacional juvenil de la Región de Murcia. [1 punto]

b) Determina el tamaño mínimo que debe tener una muestra de jugadores para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que $4$ kg con un nivel de confianza del $98\%$. [0,75 puntos]

c) Si $\mu = 71$ y se elige a un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pese más de $75$ kg? [0,75 puntos]