Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro $m > 0$. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ más el sueldo de Darío (sin multiplicar por $m$) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por $m$) es $600€$.
a) [0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.
b) [0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).
c) [1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m = 2$.

Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$.
a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.
b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^t X B = C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.

Considere un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ cuya hipotenusa mide $7\sqrt{2}$ cm.
a) [0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión $f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{98 - x^2}$.
b) [2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

Considere la función $f(x) = \ln\left(\frac{e^{x/2}}{2}\right)$.
a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\displaystyle\int f(x)\,dx$.
b) [1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x = 1$ y $x = 2$ es $\ln\frac{e}{2}$.

Considere las rectas:
$$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 + \lambda \\ z = k \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 7 + 3\mu \\ y = -5 + \mu \\ z = 7 \end{cases}$$
a) [0,5] Compruebe que $r$ y $s$ se cruzan.
b) [1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.
c) [0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.

Considere los planos $\pi_1: x - y + z = 0$ y $\pi_2: x + y - z = 2$.
a) [1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan $\pi_1$ y $\pi_2$.
b) [0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1\text{,}\; 2\text{,}\; 3)$ y no corta ni a $\pi_1$ ni a $\pi_2$.
c) [0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en $\pi_1$.

Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:
a) [0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
b) [0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
c) [0,75] Salga una bola verde en $U_2$.
d) [0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.

El $2\%$ de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.
a) [1] Considere el número de piezas en buen estado en un lote de 10 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 1 pieza defectuosa.
b) [1,5] Considere el número de piezas en buen estado en un lote de 2.000 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas.