i) Clasifique el siguiente sistema en funcion del numero de soluciones y resuelvalo utilizando el metodo de Gauss: { x + y + 3z = 1 ; 4x + 3y + 5z = 5 ; 2x + y - z = 3 }. (7 puntos) ii) Sean las matrices A = ((3, -1), (1, 2)) y B = ((-4, -2), (k, -6)). Determine el valor que debe tomar el parametro k para que el producto de ambas matrices conmute. (3 puntos)

Una empresa utiliza dos maquinas distintas (M1 y M2) para fabricar tres tipos de laminas de acero (rayada, lisa y doblemente rayada). Una hora de trabajo de la maquina M1 fabrica 10 metros de lamina rayada, 50 metros de lamina lisa y 10 metros de lamina doblemente rayada. Una hora de trabajo de la maquina M2 fabrica 40 metros de lamina rayada, 20 metros de lamina lisa y 10 metros de lamina doblemente rayada. Cada hora de trabajo de las maquinas M1 y M2 tiene un coste de 800 euros y 100 euros, respectivamente. Sabiendo que la empresa tiene una demanda diaria de al menos 240 metros de lamina rayada, 300 metros de lamina lisa y 120 metros de lamina doblemente rayada, calcule cuantas horas debera trabajar al dia cada maquina para minimizar el coste de fabricacion. i) Plantee el problema. (4 puntos) ii) Resuelvalo graficamente e interprete la solucion en el contexto del problema. (4 puntos) iii) Analice graficamente que ocurriria si la demanda diaria de la lamina de acero lisa aumenta en 100 metros mas respecto de la demanda actual. (2 puntos)

Considere las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = -x^2 + 4x + 3. i) Calcule la derivada de la funcion g(x) en el punto x = 1, aplicando la definicion de derivada. (3 puntos) ii) Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones f(x) y g(x). Calcule el area de dicho recinto. (7 puntos)

El beneficio (en miles de euros) de una pequeña empresa de Navarra varia segun la funcion B(t) = -t^2 + 8t + 4 si 0 <= t <= 7, y B(t) = 2t - 3 si 7 < t <= 10, siendo t el tiempo transcurrido en meses. i) ¿Cual es el beneficio inicial de la empresa? (1 punto) ii) Estudie la continuidad de B(t), clasificando en su caso los puntos de discontinuidad. (3 puntos) iii) ¿En que mes se alcanza el beneficio maximo? ¿Cual es ese beneficio maximo? (3 puntos) iv) Represente la grafica de la evolucion del beneficio de esta empresa. (3 puntos)

i) En un concurso se dispone de dos urnas. En la primera urna hay 15 bolas, 6 de ellas premiadas con un viaje, 5 bolas con un premio de 1.000 euros y 4 bolas sin premio. La segunda urna tiene 10 bolas (3 con viaje, 4 con 1.000 euros y 3 sin premio). Un concursante tiene que seleccionar al azar una bola de la primera urna e introducirla en la segunda urna. Tras esto, el concursante tiene que elegir una bola al azar de la segunda urna. Calcule la probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio. (5 puntos) ii) En una universidad se realizo una encuesta a los estudiantes acerca de sus habitos de alimentacion y ejercicio fisico. El 40% realizaban 5 comidas al dia y el 70% de los estudiantes hacian ejercicio fisico regularmente. El 80% de los estudiantes que realizaban 5 comidas al dia hacian ejercicio fisico regularmente. Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que ni realice 5 comidas al dia ni haga ejercicio fisico regularmente. (3 puntos) Compruebe si los sucesos 'comer 5 comidas al dia' y 'hacer ejercicio fisico regularmente' son o no sucesos independientes. (2 puntos)

El salario mensual (en euros) de los jovenes de un pais A sigue una distribucion normal con varianza 40.000 euros^2, mientras que el salario mensual de los jovenes de un pais B sigue una distribucion normal con desviacion tipica 300 euros. Se tomo una muestra de 169 jovenes del pais A y se obtuvo un salario mensual medio de 1.200 euros. A partir de una muestra de 49 jovenes del pais B, se calculo un salario mensual medio de 1.600 euros. i) Calcule un intervalo de confianza para el salario mensual medio de los jovenes del pais A y otro para el salario mensual medio de los jovenes del pais B, ambos con un nivel de confianza del 88%. Interprete las soluciones en el contexto del problema. (5 puntos) ii) Con los datos de la muestra del pais B se ha calculado otro intervalo de confianza para el salario mensual medio: [1.525, 1.675]. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos) (Escriba las formulas necesarias y justifique las respuestas).