Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} a & -4 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$, $B = (0,\ 2,\ -1)$ y $C = (-1,\ 5,\ 1)$.
i) Determine los valores del parámetro $a$ para los cuales $A$ tiene inversa. (2 puntos)
ii) Para $a=2$, calcule la matriz inversa $A^{-1}$. (3 puntos)
iii) Para $a=2$, despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $X\cdot A + I = B^{t}\cdot C$, siendo $I$ la matriz identidad. (5 puntos)

Una empresa dedicada a la comercialización de vino dispone de un terreno cultivable para plantar dos tipos de uva (negra y blanca). El beneficio anual por hectárea dedicada a la plantación de uva negra es de 10 000 € y el de cada hectárea dedicada a la plantación de uva blanca es de 7 000 €. Siguiendo las recomendaciones de las cooperativas del sector, la parte dedicada a la plantación de uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas, y la parte dedicada a uva blanca entre 7 y 15 hectáreas. Además, se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. Sabiendo que no puede cultivar más de 30 hectáreas en total, determine cuántas hectáreas dedicar a cada tipo de uva si se desea maximizar el beneficio anual.
i) Plantee el problema. (4 puntos)
ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)
iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. (2 puntos)

i) Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{3x^{2}+1}{9-x^{2}}$ y estudie la posición de la función respecto a ellas. (5 puntos)
ii) Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{2x^{3}-3x+5}{x}$ que cumpla $F(1)=1$. (5 puntos)

En una empresa, el coste total de fabricación de $x$ toneladas de un producto viene expresado, en euros, por la función $C(x) = 2x^{2}+4x+98$. Suponga que se venden todas las toneladas que se fabrican y que cada tonelada del producto se vende por 40 euros.
i) Determine la función que expresa el beneficio (ingresos menos costes) obtenido en función de $x$. ¿Cuál es el beneficio obtenido si se fabrican 6 toneladas? (3 puntos)
ii) ¿Cuántas toneladas del producto deben fabricarse para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? (4 puntos)
iii) ¿Para qué cantidad del producto se tienen pérdidas (beneficios negativos)? (3 puntos)

En un centro escolar se pregunta a los estudiantes de una clase de 2º bachillerato sobre el uso de los servicios sanitarios. Dos de cada cinco hombres y tres de cada cuatro mujeres han acudido a su centro de salud durante este curso.
i) Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer de esa clase. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos haya acudido a su centro de salud. (4 puntos)
ii) Sabiendo que en la clase hay 20 mujeres y 10 hombres, se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que los tres sean hombres. (3 puntos)
iii) Calcule la probabilidad de que sólo haya una mujer entre los tres elegidos. (3 puntos)

i) Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80 % de los jóvenes contestaron que NO escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93 %. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos). (5 puntos)
ii) Dado el siguiente intervalo de confianza al 97 % para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, $[67{,}4050;\ 82{,}5950]$, determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1.225. (5 puntos)
(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).