Una empresa dedicada a deportes de montaña vende sesiones individuales de senderismo, rápel y ciclismo de montaña. Un día concreto, la empresa vende en un total de 45 sesiones. Los precios por sesión y persona de cada una de estas tres actividades son 40 euros, 20 euros y 60 euros, respectivamente, recaudando la empresa un total de 1.700 euros ese día. Si por cada persona que elige rápel hay tres que eligen senderismo, ¿cuántas personas han realizado cada actividad? i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales (3 puntos). ii) Resuelva el sistema e interprete la solución en el contexto del problema (7 puntos).

Una empresa recibe diariamente un disolvente desde dos distribuidores (D1 y D2). El distribuidor D1 tiene una capacidad de transporte diaria de 20 litros de disolvente, mientras que el distribuidor D2 tiene el triple de capacidad. La empresa necesita al menos 50 litros de disolvente al día. La empresa quiere favorecer al distribuidor D1, por lo que quiere recibir al menos 30 litros diarios más desde D1 que desde D2. La siguiente tabla recoge el coste y el nivel de contaminación asociados al transporte a la empresa desde los dos distribuidores: D1 → coste 0.8 €/litro, contaminación 0.06 mg/litro; D2 → coste 1 €/litro, contaminación 0.02 mg/litro. Determine cuántos litros diarios deberá enviar cada distribuidor a la empresa si se desea minimizar el nivel de contaminación ambiental y no gastar más de 80 euros diarios en el transporte del disolvente. i) Plantee el problema (4 puntos). ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema (4 puntos). iii) Analice gráficamente qué ocurriría si no se quisiera gastar más de 30 euros diarios en el transporte del disolvente (2 puntos).

Sea la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 - 4x & \text{si } x < -1 \\ 4 - x & \text{si } -1 \le x < 1 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$. i) Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando sus puntos de discontinuidad (3 puntos). ii) Estudie la derivabilidad de $f(x)$ (3 puntos). iii) Calcule $\int_0^2 f(x)\,dx$ (4 puntos).

La primera derivada de cierta función $f(x)$ viene dada por $f'(x) = x \cdot (x-2)^2$. i) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ (3 puntos). ii) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Para qué valores de $x$ la función $f(x)$ presenta puntos de inflexión? (4 puntos). iii) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0)=5$ (3 puntos).

En una encuesta realizada a jóvenes universitarios sobre hábitos de estudio se ha observado que el 40% de los encuestados consulta libros en la biblioteca, el 55% consulta vídeos con tutoriales y el 15% consulta ambos formatos. i) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte alguno de los dos formatos (3 puntos). ii) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte solamente uno de los dos formatos (3 puntos). iii) Sabiendo que un universitario no consulta vídeos con tutoriales, calcule la probabilidad de que tampoco consulte libros (4 puntos).

El tiempo (en días) que los jóvenes de una región tardan en encontrar un trabajo relacionado con sus estudios universitarios sigue una distribución normal con varianza de 2.500 días². Se seleccionó una muestra de jóvenes universitarios, obteniéndose los siguientes días: 101, 200, 187, 69, 237, 125, 173, 235, 24, 60. i) Calcule un intervalo de confianza al 92% para el tiempo medio en encontrar ese tipo de trabajo (5 puntos). ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado otro intervalo de confianza, con una amplitud de 68.62.143 días. Calcule el nivel de confianza del nuevo intervalo, justificando su respuesta (5 puntos). (Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas.)