Una compañía envasa las pastas en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 65 cajas en total, haciendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabiendo que el precio del kilo de pastas es de 24 euros y que el importe total de las pastas envasadas ese día asciende a 720 euros, ¿cuántas cajas de cada tipo han envasado? i) Plantee el sistema de ecuaciones lineales (1 punto). ii) Resuelva el sistema. Interprete la solución en el contexto del problema (1.5 puntos).

En un estudio sobre la evolución de una determinada especie animal se ha determinado la población, en miles de ejemplares, viene dada por la función: $P(t) = 6 + \dfrac{12 \cdot t}{t^2 + 4}$, donde $t \ge 0$ es el tiempo transcurrido en años. Responda a las siguientes cuestiones: i) Determine la población a los 6 años y la población a largo plazo. ¿Es la población una función continua del tiempo? (0.75 puntos). ii) ¿Cuándo se alcanza la máxima población? ¿Cuál es su valor? Determine para qué períodos de tiempo el crecimiento crece o decrece (1.25 puntos). iii) Represente gráficamente la función de población (0.5 puntos).

El ayuntamiento de una ciudad hace una encuesta a 250 jóvenes (150 mujeres y 100 hombres) sobre sus medios de transporte. De las mujeres encuestadas, el 60% viaja en transporte público al trabajo. Observaron que 60 mujeres y 40 hombres encuestados prefieren el transporte público, el 16% de las mujeres y el 10% de los hombres prefieren usar su propio vehículo, y el resto de las personas prefieren caminar. i) Se elige un joven al azar. Calcule la probabilidad de que sea mujer, sabiendo que prefiere caminar (1 punto). ii) Se elige al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer. Calcule la probabilidad de que ambos usen el transporte público (0.75 puntos). iii) Se elige al azar tres jóvenes sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que los tres prefieran usar su propio vehículo (0.75 puntos).

OPCIÓN A: i) Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}0 & -2\\3 & 0\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}a & b\\4 & 1\end{pmatrix}$$, calcule el valor de a y b para que se cumpla $AB = BA$ (1 punto). ii) Calcule el área del recinto del plano limitado por la función $f(x) = -x^2 - 2x + 3$ y el eje $x$ (1.5 puntos). OPCIÓN B: i) Dadas las matrices $$C=\begin{pmatrix}0 & -2\\3 & 0\end{pmatrix}$$ y $$D=\begin{pmatrix}2 & -1\\4 & 1\end{pmatrix}$$, despeje y calcule X en la ecuación matricial $XD - C = I$ (1.25 puntos). ii) En un barrio de una ciudad, el importe mensual (en euros) del alquiler de una vivienda sigue una distribución normal con varianza 22.500 euros². Se selecciona una muestra de 74 viviendas en la zona, obteniéndose una media muestral de 738 euros. Calcule un intervalo de confianza al 96% para el importe medio mensual del alquiler de una vivienda. Interprete la solución en el contexto del problema (1.25 puntos).

OPCIÓN B: i) Dadas las matrices $$C=\begin{pmatrix}0 & -2\\3 & 0\end{pmatrix}$$ y $$D=\begin{pmatrix}2 & -1\\4 & 1\end{pmatrix}$$, despeje y calcule X en la ecuación matricial $XD - C = I$ (1.25 puntos). ii) En un barrio de una ciudad, el importe mensual (en euros) del alquiler de una vivienda sigue una distribución normal con varianza 22.500 euros². Se selecciona una muestra de 74 viviendas, obteniéndose una media muestral de 738 euros. Calcule un intervalo de confianza al 96% para el importe medio mensual del alquiler de una vivienda. Interprete la solución en el contexto del problema (1.25 puntos).