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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2021

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2.5 puntos

Álgebra

Sistema con parámetro a

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que es compatible:

\begin{cases} ax+(a-2)y=a-2 \\ ax+(a^2-2a)y=a \\ 3ax+(a^2-4)y+z=4a-4 \end{cases}

. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Discusión y resolución según parámetro a

(2.5 puntos)

Pregunta 2

2.5 puntos

Álgebra

Cálculo de t para |A·B^{-1}|=1

Calcula los valores de

t

para que se cumpla

|A\cdot B^{-1}|=1

, siendo

A

B

las siguientes matrices:

A=\begin{pmatrix}1 & t & -t\\ 2t-1 & t-1 & t\\ t-2 & 0 & t-2\end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix}t-1 & 1 & -t\\ 1-2t & 2t & -1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}

Cálculo de t

(2.5 puntos)

Pregunta 3

2.5 puntos

Geometría

Recta perpendicular común a r y s

Calcula la ecuación continua de la recta

r

que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

r\equiv\begin{cases}2y+z=0\\ x+y=0\end{cases}

s\equiv\dfrac{x-6}{-1}=\dfrac{y-6}{5}=\dfrac{z-2}{2}

Perpendicular común

(2.5 puntos)

Pregunta 4

2.5 puntos

Geometría

Plano tangente a esfera y recta de tangencia

Halla un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro

(0,0,0)

y que sea perpendicular a la recta

r\equiv\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z+4}{-2}

. Encuentra el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcula la ecuación continua de la recta que pasa por

y

y es perpendicular a

r

Plano tangente y recta perpendicular

(2.5 puntos)

Pregunta 5

1.25 + 1.25 puntos

Análisis

Dos límites

Calcula los siguientes límites: a)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^2+2x^3}-\sqrt{3x^2}}

. b)

\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\dfrac{1}{x}

Límite con raíces

(1.25 puntos)

Límite acotada × infinitésimo

(1.25 puntos)

Pregunta 6

1 + 1.5 puntos

Análisis

Continuidad y existencia de raíz f(α)=0

Se considera la función

f(x)=\log_2\left(\sin\dfrac{\pi(x+1)}{4}+2^{x/2}\right)

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[6,7]

. b) Demuestra que existe un valor

\alpha\in(6,7)

tal que

f(\alpha)=0

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad en [6,7]

(1 punto)

Existencia de raíz

(1.5 puntos)

Pregunta 7

0.75 + 1.75 puntos

Análisis

Existencia de α, β con f'(α)=f'(β)

Se considera la función

f(x)=\sqrt{x+\sin\dfrac{\pi x}{2}}

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[1,3]

. b) Demuestra que existen valores

\alpha\in(1,2)

\beta\in(2,3)

tales que

f'(\alpha)=f'(\beta)=0

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad

(0.75 puntos)

Existencia α, β con f'=0

(1.75 puntos)

Pregunta 8

2.5 puntos

Análisis

Área de región sombreada f(x)=-x²-4x

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada. (Función:

f(x)=-x^2-4x

Área región

(2.5 puntos)

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