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Examen resuelto de Matemáticas II — Ordinaria 2021

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2.5 puntos

Álgebra

Sistema con parámetro a — discusión y resolución

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que es compatible:

\begin{cases} (a-1)z-y=3 \\ (a-1)x+(a+1)y-(2-a)z=-2a \\ (-2a+2)x-ay+(a^2-a-2)z=3a-1\end{cases}

. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Discusión y resolución según parámetro a

(2.5 puntos)

Pregunta 2

2.5 puntos

Álgebra

Valor de t para que |A^5|=8

Calcula los valores del parámetro

t

para que se cumpla la condición

|A^5|=8

, siendo

A

la siguiente matriz:

A=\begin{pmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1 & -2 \end{pmatrix}

Cálculo de t

(2.5 puntos)

Pregunta 3

2.5 puntos

Geometría

Plano paralelo a dos rectas

Encuentra la ecuación general del plano

\pi

que es paralelo a las rectas

r\equiv\begin{cases}x+2y+z+3=0\\ x+6y-z-7=0\end{cases}

s\equiv\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z+2}{1}

y equidista de ellas.

Plano paralelo y equidistante

(2.5 puntos)

Pregunta 4

2.5 puntos

Geometría

Vértices de paralelogramo conocido un lado y perímetro

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta

r\equiv\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}

. Otro lado lo determinan los puntos

A\equiv(-1,2,3)

B\equiv(2,-2,-1)

. Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide 16 u.

Vértices C y D

(2.5 puntos)

Pregunta 5

1.25 + 1.25 puntos

Análisis

Continuidad y existencia f'(α)=3/2

Sea la función

f(x)=(x^2-3x+10)^{\ln(x^2+1)}

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[1,3]

. b) Demuestra que existe

\alpha\in(1,3)

tal que

f'(\alpha)=\dfrac{3}{2}

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad en [1,3]

(1.25 puntos)

Existencia de α con f'(α)=3/2

(1.25 puntos)

Pregunta 6

2.5 puntos

Análisis

Asíntotas y posición relativa

Calcula las asíntotas de la función

f(x)=\dfrac{x^2-4x-1}{x^2-4}

y estudia la posición de la curva respecto a ellas.

Asíntotas y posición

(2.5 puntos)

Pregunta 7

1 + 1.5 puntos

Análisis

Continuidad de f con logaritmo y existencia f'(α)=3/2 ln 2

Sea la función

f(x)=\ln\left(\dfrac{5x-2-x\sin\frac{\pi x}{2}}{x^2-4x+6}\right)

. a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[1,3]

. b) Demuestra que existe

\alpha\in(1,3)

tal que

f'(\alpha)=\dfrac{3}{2}\ln 2

. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Continuidad en [1,3]

(1 punto)

Existencia de α

(1.5 puntos)

Pregunta 8

2.5 puntos

Análisis

Áreas iguales: f(x)=e/x y g(x)=ln x

Calcula los valores de las abscisas

a

b

que aparecen en el gráfico y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales. (Funciones:

f(x)=\dfrac{e}{x}

g(x)=\ln x

Cálculo y comprobación

(2.5 puntos)

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