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Examen resuelto de Matemáticas II — Extraordinaria 2022

Navarra8 problemas100% Resuelto

Pregunta 1

2,5 pts

Álgebra

Discusión y resolución de sistema con parámetro

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

\begin{cases} (a^2 - 1)x + ay + a^2 z = 1 \\ (a^2 - 1)x + (a+1)y + (a^2 + a)z = 2 \\ y + (a^2 + 2a)z = a + 2\end{cases}

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Pregunta 2

2,5 pts

Álgebra

Demostrar |A·B|=0 para toda matriz A de 3×2

Demuestra que se cumple

|A\cdot B| = 0

para toda matriz

A

de dimensión

3\times 2

, siendo

B

la siguiente matriz:

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.

Pregunta 3

2,5 pts

Geometría

Plano perpendicular a otro con condiciones

Calcula la ecuación general del plano

\pi

perpendicular al plano

\alpha\equiv 2x - y - z - 1 = 0

, sabiendo que contiene al punto

P(-1, 2, 1)

y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

r\equiv\begin{cases} x + y - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 3 = 0\end{cases}.

Pregunta 4

2,5 pts

Geometría

Centros de esfera tangente a un plano sobre una recta

Encuentra los puntos de la recta

r\equiv\begin{cases} 3x - y + z - 6 = 0 \\ x - y + 3z - 8 = 0\end{cases}

que son centro de una esfera de radio

3

, tangente al plano

\pi\equiv 2x + 2y - z - 7 = 0

Pregunta 5

2,5 puntos(0,75 + 1,75)

Análisis

Aplicación del Teorema de Lagrange

Sea la función

f(x) = \sin\!\left[\dfrac{\pi}{4}\ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]

.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

\left[\tfrac{1}{e}, e\right]

. (0,75 puntos)
b) Demuestra que existe un valor

\alpha\in\left[\tfrac{1}{e}, e\right]

tal que

f'(\alpha) = \dfrac{e\sqrt 2}{1 - e^2}

. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,75 puntos)

Pregunta 6

2,5 puntos(1,25 + 1,25)

Análisis

Cálculo de límites

Calcula los siguientes límites:
a)

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{x^2 + x - 1}\right)^{2x-1}

(1,25 puntos)
b)

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^x - 1)^2}{\ln(x+1) - x}

(1,25 puntos)

Pregunta 7

2,5 puntos(1 + 1,5)

Análisis

Existencia de raíz por el Teorema de Bolzano

Sea la función

f(x) = \ln\!\left(\sin\dfrac{\pi x}{6} - \cos\dfrac{\pi x}{6}\right)

.
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo

[2, 4]

. (1 punto)
b) Demuestra que existe un valor

\alpha\in(2,4)

tal que

f(\alpha) = 0

. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,5 puntos)

Pregunta 8

2,5 pts

Análisis

Área entre f(x)=x³−3x−2 y g(x)=x−2

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones:

f(x) = x^3 - 3x - 2 \quad \text{y} \quad g(x) = x - 2.

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