A 1. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ Se considera la ecuación matricial:

a) ⟦0,5 puntos⟧ ¿Qué dimensión debe tener la matriz $X$?

b) ⟦2 puntos⟧ Resuelve la ecuación matricial.

B 1. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ Un guía de turismo quiere adquirir tickets de diferentes actividades para sus clientes. En concreto, quiere comprar al menos 16 tickets para acudir a un museo, 20 para realizar una visita guiada y 16 para asistir a un espectáculo.

Dos agencias disponen de ofertas para dichos tickets combinados en paquetes:

• La agencia A ofrece paquetes formados por 6 tickets para el museo, 4 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 210 € cada paquete.
• La agencia B ofrece paquetes formados por 4 tickets para el museo, 6 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 230 € cada paquete.

¿Cuántos paquetes deberá comprar el guía a cada agencia para que su coste sea mínimo? ¿A cuánto asciende dicho coste?

A 2. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ Sea $f(x)$ la siguiente función:

a) ⟦1 punto⟧ Determina el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 1$.

b) ⟦0,5 puntos⟧ Realiza la representación gráfica de la función cuando $a = 2$.

c) ⟦1 punto⟧ Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX para $a = 2$.

B 2. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ Sea la siguiente función $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

a) ⟦1 punto⟧ Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.

b) ⟦0,5 puntos⟧ Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.

c) ⟦0,5 puntos⟧ Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta $y = \dfrac{x}{2}$.

d) ⟦0,5 puntos⟧ Obtén la primitiva de la función $f(x)$, sabiendo que en $x = 0$ toma el valor 1.

A 3. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se han extraído dos bolas de la caja como se explica a continuación: se ha extraído una bola, y antes de sacar la segunda se ha devuelto a la caja la primera bola extraída, añadiendo otra bola del mismo color.

a) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado era azul.

b) ⟦1 punto⟧ Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.

c) ⟦0,75 puntos⟧ Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

B 3. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ Sean $A$ y $B$ dos sucesos compatibles asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}5$ y $P(A\cap B) = 0{,}4$. Calcula:

a) ⟦0,65 puntos⟧ $P(A\cup B)$.

b) ⟦0,6 puntos⟧ $P(A^c \cap B^c)$.

c) ⟦0,6 puntos⟧ $P(A^c \cap B)$.

d) ⟦0,65 puntos⟧ $P(A\mid B)$.

A 4. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ La altura en centímetros de las mujeres de un determinado país sigue una distribución normal de media 163 cm y desviación típica 7 cm.

a) ⟦1,5 puntos⟧ Si se toma una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura sea superior a 171 cm? ¿Y de que su altura esté comprendida entre 155 y 171 cm?

b) ⟦1 punto⟧ Una empresa que fabrica disfraces quiere elaborar cuatro tallas en función de la altura, de tal modo que cada una de ellas sea adecuada para el 25 % de las mujeres. ¿Cuáles serán las alturas que marcarán el cambio de una talla a otra?

B 4. ⟦hasta 2,5 puntos⟧ El peso de las truchas de una piscifactoría sigue una distribución normal de media 250 gramos y desviación típica 50 gramos. Únicamente son aptas para la venta aquellas que superan un determinado peso.

a) ⟦1,25 puntos⟧ ¿Cuál debería ser ese peso si se quiere que el 40 % de las truchas de la piscifactoría sean aptas para la venta?

b) ⟦1,25 puntos⟧ Si dicho peso se establece en 280 gramos y en la piscifactoría hay un total de 6.000 truchas, ¿cuántas de ellas se podrán poner a la venta?