Se considera la ecuación matricial $A\cdot X = A^t\cdot B$, donde $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$.
a) (0,5 p) ¿Qué dimensión debe tener la matriz $X$?
b) (2 p) Resuelve la ecuación matricial.

Sea $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } 0\le x\le 1 \\ ax+2 & \text{si } 1<x\le 2 \end{cases}$$.
a) (1 p) Determina el valor del parámetro $a$ para que $f$ sea continua en $x=1$.
b) (0,5 p) Representa la gráfica de la función cuando $a=2$.
c) (1 p) Calcula el área comprendida entre la función y el eje OX para $a=2$.

En una caja hay una bola roja (R) y una bola azul (A). Se extrae una bola y, antes de la segunda extracción, se devuelve a la caja la primera bola junto con otra bola del mismo color.
a) (0,75 p) Probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera fue azul.
b) (1 p) Probabilidad de que la segunda bola sea azul.
c) (0,75 p) Si la segunda bola ha sido azul, probabilidad de que la primera haya sido roja.

La altura (en cm) de las mujeres de un país sigue una distribución $X\sim N(163,\,7)$.
a) (1,5 p) (i) Probabilidad de que una mujer tenga altura superior a 171 cm. (ii) Probabilidad de que esté entre 155 y 171 cm.
b) (1 p) Se fabrican cuatro tallas, cada una para el 25 % de las mujeres. ¿Cuáles son las alturas que marcan el cambio de una talla a otra?

Un guía necesita, como mínimo, 16 tickets de museo, 20 de visita guiada y 16 de espectáculo. La agencia A vende paquetes (6,4,4) a 210 € y la agencia B (4,6,4) a 230 €. ¿Cuántos paquetes comprar a cada agencia para minimizar el coste?

Sea $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
a) (1 p) Intervalos de crecimiento/decrecimiento y extremos relativos.
b) (0,5 p) Asíntotas verticales y horizontales.
c) (0,5 p) Representa gráficamente el área comprendida entre $f$ y la recta $y=\frac{x}{2}$.
d) (0,5 p) Primitiva $F(x)$ de $f$ tal que $F(0)=1$.

Sean $A$ y $B$ sucesos compatibles con $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ y $P(A\cap B)=0{,}4$. Calcula:
a) (0,75 p) $P(A\cup B)$.
b) (0,5 p) $P(\bar A\cap\bar B)$.
c) (0,5 p) $P(\bar A\cap B)$.
d) (0,75 p) $P(A|B)$.

El peso de las truchas sigue $X\sim N(250,\,50)$ gramos.
a) (1,25 p) ¿Qué peso debería marcar el límite para que el 40 % de las truchas sean aptas para la venta?
b) (1,25 p) Si el límite se fija en 280 g y hay 6.000 truchas, ¿cuántas se podrán vender?