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Examen resuelto de Matemáticas Aplicadas CCSS — Ordinaria 2021

País Vasco8 problemas, 4 bloques (elegir 4 de al menos 3 bloques)100% Resuelto

Pregunta 1

2,5 puntos

Álgebra: matrices y ecuaciones matriciales

A.1 (Álgebra) — Matriz con parámetros, inversa y ecuación

X \cdot A + 2 I = A^{2}

Dada

A=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ -1 & n & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

.
a) (0,75 p) Valores de

m,n

para que

A=A^t

y no tenga inversa.
b) (0,75 p) Para

m=0,\,n=3

, inversa si existe.
c) (1 p) Para

m=0,\,n=3

, resolver

X\cdot A + 2I_3 = A^2

Pregunta 2

2,5 puntos

Programación lineal

B.1 (Álgebra) — Programación lineal: maximizar beneficio

Camisa A (20 blancas, 20 grises, 30 rosas) a 60 €; camisa B (10 blancas, 20 grises, 60 rosas) a 50 €. Disponibles: ≤900 blancas, ≤1.400 grises; se requiere ≥1.800 rosas.
a) (2 p) ¿Cuántas camisas de cada tipo maximizan el beneficio?
b) (0,5 p) ¿Se pueden fabricar 40 A y 20 B?

Pregunta 3

2,5 puntos

Análisis: función a trozos

A.2 (Análisis) — Función a trozos, tangente, extremos, integral

Sea

f(x)=\begin{cases} x^3+3x^2 & x<1 \\ ax+\tfrac{2}{x} & x\ge 1 \end{cases}

.
a) (0,5 p) Valor de

a

para continuidad en

x=1

.
b) (0,4 p) Para

a=\tfrac{1}{2}

, recta tangente en

x=2

.
c) (1 p) Para

a=2

, representación con extremos e inflexión en

x<1

.
d) (0,6 p)

\int\!\left(x^3+3x^2+\tfrac{2}{x}-\tfrac{4}{x^2}\right)dx

Pregunta 4

2,5 puntos

Análisis: polinomio cúbico

B.2 (Análisis) — Cúbica con parámetros: extremos y área

f(x)=ax^3+bx+11

.
a) (1 p)

a,b

para que tenga un extremo relativo en

(2, 5)

.
b) (0,75 p) Para

a=\tfrac{3}{8},\,b=-\tfrac{9}{2}

, extremos e inflexión.
c) (0,75 p) Área entre

f

, eje OX y rectas

x=-2,\,x=2

Pregunta 5

2,5 puntos

Probabilidad total y teorema de Bayes

A.3 (Probabilidad) — Dos cajas y dado (árbol + Bayes)

Caja A: 5 blancas, 3 negras, 2 rojas (10). Caja B: 4 blancas, 6 negras (10). Dado con 4 caras A y 2 caras B.
a) (1 p)

P

(blanca).
b) (0,5 p)

P

(roja).
c) (1 p) Dada blanca,

P

(procede de B).

Pregunta 6

2,5 puntos

Probabilidad: uniones, condicionada, independencia

B.3 (Probabilidad) — Tres cuestiones independientes

a) (0,75 p)

P(A)=0{,}5

P(A\cup B)=0{,}7

P(A\cap B)=0{,}4

. Halla

P(B)

.
b) (1 p)

P(C)=0{,}4

P(D)=0{,}3

P(C\cup D)=0{,}5

. Halla

P(C\mid\bar D)

.
c) (0,75 p)

P(E)=0{,}6

P(F)=0{,}8

E

F

independientes. Halla

P(\bar E\cap\bar F)

Pregunta 7

2,5 puntos

Estadística: normal y parámetros

A.4 (Inferencia) — Normal: σ, percentil, intervalo centrado en μ

X\sim N(4{,}8,\,\sigma)

; el 40 % obtuvo menos de 4 puntos.
a) (0,75 p) Calcula

\sigma

.
b) (0,75 p) Con

\sigma=3{,}14

, nota que sólo supera el 35 %.
c) (1 p) Con

\sigma=3{,}14

, porcentaje con resultado a menos de 2 puntos de la media.

Pregunta 8

2,5 puntos

Inferencia: IC para la media

B.4 (Inferencia) — Intervalo de confianza y error máximo

X\sim N(\mu,\,6)

.
a) (1,5 p) IC al 95 %

=(24{,}47;\,26{,}43)

. Calcula

\bar x

n

.
b) (1 p) Con

n=49

y confianza 97 %, calcula el error máximo admisible.

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