BLOQUE: ÁLGEBRA — A.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x,y) = 4x + 2y - 1$ en el recinto definido por las siguientes restricciones:

$$\begin{cases} y - x \le 4 \\ y + 2x \ge 7 \\ -2x - y + 13 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

• a) ⟦1 punto⟧ Representa el recinto mencionado.
• b) ⟦1,5 puntos⟧ Obtén los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función, así como los valores de la función en dichos puntos.

BLOQUE: ÁLGEBRA — B.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}\;\text{y}\; C=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Encuentra el valor o valores de $x$ para que se cumpla la igualdad $B^2 = A$.
• b) ⟦1 punto⟧ Igualmente, para que se cumpla $B + C = A^{-1}$.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Determina el valor de $x$ para que $A + B + C = 3 \cdot I_2$, donde $$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

BLOQUE: ANÁLISIS — A.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

• a) ⟦0,9 puntos⟧ Asocia, razonadamente, las funciones: $A)\; f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\;;\; B)\; g(x)=\dfrac{|x|}{x}\;;\; C)\; h(x)=\sqrt[3]{x}$ con las siguientes representaciones gráficas (1), (2) y (3). La gráfica (1) muestra una función constante a trozos (igual a $-1$ a la izquierda de $0$ e igual a $1$ a la derecha de $0$, con $x=0$ excluido). La gráfica (2) es una curva continua que pasa por el origen, monótona creciente, con concavidad hacia arriba para $x<0$ y hacia abajo para $x>0$. La gráfica (3) presenta dos asíntotas verticales en $x=-1$ y $x=1$ y pasa por el origen.
• b) ⟦1,6 puntos⟧ En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio y recorrido de la función.

BLOQUE: ANÁLISIS — B.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

La velocidad que lleva un patinete $v(t)$, en función del tiempo $t$, viene dada por la siguiente función:

$$v(t)=\begin{cases} 7t^2 & \text{si } 0\le t<1 \\ 2t+a & \text{si } 1\le t\le 5 \\ -t^2+12t+b & \text{si } 5<t\le 10 \end{cases}$$

• a) ⟦0,8 puntos⟧ Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $v(t)$ sea continua en los instantes $t=1$ y $t=5$.
• b) ⟦1 punto⟧ Para $a=5$ y $b=-20$, ¿en qué momento el patinete alcanza la velocidad máxima? Concreta la velocidad máxima mencionada.
• c) ⟦0,7 puntos⟧ En el caso $a=5$ y $b=-20$, realiza la representación gráfica de la función.

BLOQUE: PROBABILIDAD — A.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.

• a) ⟦0,5 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.
• b) ⟦1,25 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.

BLOQUE: PROBABILIDAD — B.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7. Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Ambas han encestado.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Ninguna ha encestado.
• c) ⟦0,5 puntos⟧ Sólo Deiene ha encestado.
• d) ⟦0,5 puntos⟧ Al menos una ha encestado.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — A.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

La temperatura en un determinado mes sigue una distribución normal de media 10 grados y de varianza 16 grados².

• a) ⟦0,9 puntos⟧ Obtén el intervalo característico para el 80 %.
• b) ⟦0,3 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día sea superior a 11º?
• c) ⟦0,6 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día esté entre 8º y 10º?
• d) ⟦0,3 puntos⟧ ¿Cuál es la proporción de días con más de 9º?
• e) ⟦0,4 puntos⟧ Si consideramos un mes de 30 días, ¿en cuántos días la temperatura ha sido inferior a 12º?

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — B.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores: $\bar{x}=52{,}5\,\text{kg}$ y $s=5{,}3\,\text{kg}$.

Hemos hecho la siguiente afirmación: «El peso medio de las chicas de 16 años de esta ciudad está entre 51 kg y 54 kg». ¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?