Se quiere obtener el máximo y el mínimo de la función $f(x,y) = 4x + 2y - 1$ en el recinto definido por las siguientes restricciones: $y\le 4$, $y+2x\ge 7$, $-2x-y+13\ge 0$, $x\ge 0$, $y\ge 0$.
a) (1 p) Representa el recinto mencionado.
b) (1,5 p) Obtén los puntos en los que se alcanzan el máximo y el mínimo de la función, así como los valores de la función en dichos puntos.

Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}1 & x \\ x & 0\end{pmatrix}$$ y $$C=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$$.
a) (0,75 p) Encuentra el valor o valores de $x$ para que se cumpla la igualdad $B^2=A$.
b) (1 p) Igualmente, para que se cumpla $B+C=A^{-1}$.
c) (0,75 p) Determina el valor de $x$ para que $A+B+C = 3\cdot I_2$, donde $$I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$.

a) (0,9 p) Asocia, razonadamente, las funciones $A)\ f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$; $B)\ g(x)=\dfrac{|x|}{x}$; $C)\ h(x)=\sqrt[3]{x}$ con las representaciones gráficas (1), (2) y (3).
b) (1,6 p) En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio y el recorrido de la función.

La velocidad que lleva un patinete $v(t)$, en función del tiempo $t$, viene dada por $$v(t)=\begin{cases} 7t^2 & \text{si } 0\le t<1 \\ 2t+a & \text{si } 1\le t\le 5 \\ -t^2+12t+b & \text{si } 5<t\le 10\end{cases}$$.
a) (0,8 p) Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $v(t)$ sea continua en los instantes $t=1$ y $t=5$.
b) (1 p) Para $a=5$ y $b=-20$, ¿en qué momento el patinete alcanza la velocidad máxima? Concreta la velocidad máxima mencionada.
c) (0,7 p) En el caso $a=5$ y $b=-20$, realiza la representación gráfica de la función.

Se van a sortear 4 viajes a Nueva York entre 40 personas utilizando una baraja de 40 cartas. Se reparte una carta por persona y cada una que recibe un rey ganará un viaje.
a) (0,5 p) Calcula la probabilidad de que gane un viaje la primera persona que recibe la carta.
b) (1,25 p) Calcula la probabilidad de que gane un viaje la segunda persona que recibe la carta.
c) (0,75 p) Calcula la probabilidad de que ninguna de las dos primeras personas gane un viaje.

Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7. Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) (0,75 p) Ambas han encestado.
b) (0,75 p) Ninguna ha encestado.
c) (0,5 p) Sólo Deiene ha encestado.
d) (0,5 p) Al menos una ha encestado.

La temperatura en un determinado mes sigue una distribución normal de media 10 grados y varianza 16 grados$^2$.
a) (0,9 p) Obtén el intervalo característico para el 80 %.
b) (0,3 p) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día sea superior a 11°?
c) (0,6 p) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura de un día esté entre 8° y 10°?
d) (0,3 p) ¿Cuál es la proporción de días con más de 9°?
e) (0,4 p) Si consideramos un mes de 30 días, ¿en cuántos días la temperatura ha sido inferior a 12°?

Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores: $\bar x = 52{,}5$ kg y $s = 5{,}3$ kg. Hemos hecho la siguiente afirmación: «El peso medio de las chicas de 16 años de esta ciudad está entre 51 kg y 54 kg». ¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?