BLOQUE: ÁLGEBRA — A.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Una determinada empresa de selección de personal realiza un test de 90 preguntas. Por cada acierto da 6 puntos; por cada fallo quita 2,5 puntos, y por cada pregunta no contestada quita 1,5 puntos. Para aprobar hay que obtener por lo menos 210 puntos.

¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente para obtener los 210 puntos, y que el número de preguntas no contestadas más el número de aciertos sea igual al doble del número de fallos?

BLOQUE: ÁLGEBRA — B.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.

Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la del tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

• a) ⟦2,2 puntos⟧ ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener el máximo beneficio?
• b) ⟦0,3 puntos⟧ ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

BLOQUE: ANÁLISIS — A.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sea $f(x)$ la función: $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x+1}{1-2x} & \text{si } x<0 \\ x^2-x-a & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$$

• a) ⟦0,7 puntos⟧ Encuentra el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=0$.
• b) ⟦1 punto⟧ En el caso $a=2$, analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, y los máximos y mínimos relativos.
• c) ⟦0,8 puntos⟧ En el caso $a=2$, realiza la representación gráfica de la función.

BLOQUE: ANÁLISIS — B.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

• a) ⟦0,8 puntos⟧ Calcula las derivadas de las siguientes funciones: $f(x)=(x^2-1)(3x^3+5x)^3,\quad g(x)=\dfrac{\ln(3x)}{e^{2x}}.$
• b) ⟦0,6 puntos⟧ Determina la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)=\dfrac{3x+6}{2x+1}$ en el punto de abscisa $x=1$.
• c) ⟦0,5 puntos⟧ Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función $h(x)$.
• d) ⟦0,6 puntos⟧ Calcula $\displaystyle\int\!\left(e^{3x}-3x^2+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{(x+2)^2}\right)dx.$

BLOQUE: PROBABILIDAD — A.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Un libro tiene 230 páginas repartidas en 3 capítulos. El primer capítulo tiene 100 páginas, y de ellas el 15 % tiene errores. El segundo consta de 80 páginas, de las cuales 8 tienen errores; y en el tercero, de 50 páginas, sólo hay 40 que no tienen ningún error. Si abrimos el libro por una página al azar:

• a) ⟦0,5 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que la página elegida tenga errores y sea del tercer capítulo.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que la página elegida no tenga errores.
• d) ⟦0,5 puntos⟧ Observamos que la página elegida tiene errores, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tercer capítulo?

BLOQUE: PROBABILIDAD — B.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sean $A, B, C, D$ y $E$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Sabemos que $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}3$ y $P(A\cup B)=0{,}5$. Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$.
• b) ⟦1 punto⟧ Sabemos que $P(C)=0{,}5$, $P(D)=0{,}6$ y $P(C\cup D)=0{,}7$. Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Sabemos que $P(A)=0{,}4$, $P(E)=0{,}6$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — A.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En un examen de Lengua Inglesa el 30 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 7,6 puntos. Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 6,8 puntos.

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Si la desviación típica es 1,5 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?
• c) ⟦1 punto⟧ Si la desviación típica es 1,5 puntos y el Aprobado se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha aprobado el examen?

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — B.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Se ha diseñado un experimento para comprobar el porcentaje de una población que ha sido vacunada frente a una determinada enfermedad. Para ello se ha elegido una muestra al azar de 1.000 personas, y se les ha preguntado si han recibido la vacuna o no. De ellas, 860 han respondido que sí y el resto que no.

• a) ⟦1,25 puntos⟧ Estimar, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de personas de la población que han recibido la vacuna.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Calcular el error máximo admisible para dicho nivel de confianza.
• c) ⟦0,5 puntos⟧ Interpretar los resultados obtenidos.