BLOQUE: ÁLGEBRA — A.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$.

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Comprueba que la matriz $B$ es la inversa de la matriz $A$.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la matriz $(A-2I_2)^2$, donde $$I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
• c) ⟦1 punto⟧ Calcula la matriz $X$ tal que $A\cdot X=B$.

BLOQUE: ÁLGEBRA — B.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En un examen de matemáticas se propone el siguiente problema:

“Indica dónde alcanza el mínimo la función $F(x,y)=6x+3y-2$, en la región determinada por las siguientes restricciones:
$2x+y\ge 6\;;\;2x+5y\le 30\;;\;2x-y\le 6$.”

• a) ⟦2,2 puntos⟧ Jimena responde que el mínimo de la función se alcanza en el punto $(1,2)$ e Iván, por el contrario, que lo hace en el punto $(3,0)$.
  • ¿Es cierto que el mínimo de la función se alcanza en el punto $(1,2)$?
  • ¿Es exacta la respuesta de Iván?
  Razona tus respuestas.
• b) ⟦0,3 puntos⟧ ¿Cuánto vale dicho mínimo?

BLOQUE: ANÁLISIS — A.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

La siguiente función $I(t)$ representa las ganancias/pérdidas (en miles de euros) de una empresa desde que se fundó:

$I(t)=\dfrac{8t-16}{t+1},\quad t\ge 0$

donde $t$ es el tiempo pasado (en años), e $I(t)$ son las ganancias/pérdidas.

• a) ⟦0,4 puntos⟧ Realiza la representación gráfica de la función $I(t)$.
• b) ⟦0,3 puntos⟧ ¿Cuánto fue la inversión inicial (capital inicial)?
• c) ⟦0,3 puntos⟧ ¿En qué año ganó 5.600 €?
• d) ⟦0,5 puntos⟧ ¿A partir de qué año la empresa comienza a obtener ganancias?
• e) ⟦0,3 puntos⟧ Analiza la evolución de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento).
• f) ⟦0,7 puntos⟧ En caso de seguir así, ¿cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?

BLOQUE: ANÁLISIS — B.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sea la función:

$$f(x)=\begin{cases} -2x-a & \text{si } x\le 0\\ x-1 & \text{si } 0<x<2\\ bx-5 & \text{si } x\ge 2 \end{cases}$$

• a) ⟦1,2 puntos⟧ Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
• b) ⟦0,5 puntos⟧ Representa la gráfica de la función $f(x)$ para los valores de los parámetros $a=0$ y $b=3$.
• c) ⟦0,8 puntos⟧ Para los valores $a=0$ y $b=3$, calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisas OX, y las rectas $x=1$ y $x=3$.

BLOQUE: PROBABILIDAD — A.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Gorka, jugador de un equipo de fútbol, ha sido titular en un 80 % de los partidos de la liga. Su equipo ha ganado un 40 % de los partidos en los que Gorka ha sido titular; y cuando no lo ha sido, su equipo ha ganado un 45 % de los partidos.

• a) ⟦0,8 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo gane un partido?
• b) ⟦0,6 puntos⟧ Sabiendo que ha ganado su equipo, ¿cuál es la probabilidad de que Gorka haya sido titular?
• c) ⟦0,6 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que Gorka no sea titular y que su equipo gane el partido.
• d) ⟦0,5 puntos⟧ ¿Los sucesos “ser titular” y “ganar el partido” son sucesos independientes? Razona tu respuesta.

BLOQUE: PROBABILIDAD — B.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos bolas del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola.

Calcula:

• a) ⟦1,4 puntos⟧ La probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde.
• b) ⟦1,1 puntos⟧ La probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja, sabiendo que la segunda bola ha sido roja.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — A.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria normal con media desconocida $\mu$ y desviación típica 7 gramos. Sabemos que 36 tabletas de chocolate, elegidas al azar, han dado un peso total de 5.274 gramos.

• a) ⟦1,7 puntos⟧ Calcula el intervalo de confianza para la media $\mu$ con un nivel de confianza del 94 %.
• b) ⟦0,8 puntos⟧ Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar en la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — B.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Un jugador A realiza lanzamientos con una moneda equilibrada, mientras que otro jugador B lo hace con una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara con la moneda trucada es 0,4. Asociadas a dichos lanzamientos se definen las variables que siguen las siguientes distribuciones binomiales:

• $X$: número de caras que obtiene el jugador A en $n$ lanzamientos, $X\equiv B(n,p)$ con $p=0{,}5$ (cara con moneda equilibrada).
• $Y$: número de cruces que obtiene el jugador B en $n'$ lanzamientos, $Y\equiv B(n',p')$ con $p'=0{,}6$ (cruz con moneda trucada).

• a) ⟦0,6 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que el jugador A obtenga 3 caras en 3 lanzamientos con su moneda equilibrada.
• b) ⟦0,6 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que el jugador B obtenga 2 cruces en 2 lanzamientos con su moneda trucada.
• c) ⟦1,3 puntos⟧ ¿Qué es más probable, que el jugador A obtenga menos de 190 caras en 400 lanzamientos con su moneda equilibrada o que el jugador B obtenga menos de 110 cruces en 200 lanzamientos con su moneda trucada? Justifica la respuesta.