BLOQUE: ÁLGEBRA — A.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$.

• a) ⟦1 punto⟧ Razona qué dimensión deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que los productos $(A\cdot P\cdot B^t)$ y $(Q\cdot A\cdot C)$ den como resultado una matriz cuadrada.
• b) ⟦1,5 puntos⟧ Resuelve la ecuación matricial:
  $A\cdot X-2B\cdot C^t=A^t$

BLOQUE: ÁLGEBRA — B.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas produce mesas y sillas que vende a 20 € y 30 €, respectivamente. La empresa quiere saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente para maximizar los ingresos, teniendo en cuenta las siguientes restricciones:

• El número total de unidades producidas de ambos artículos no podrá exceder de 4, por día.
• Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación y cada silla 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas.
• El material utilizado en cada mesa cuesta 4 €, y el utilizado en cada silla 2 €. El presupuesto para material es de 12 € diarios.

• a) ⟦2,1 puntos⟧ Plantea y resuelve el problema de maximización.
• b) ⟦0,4 puntos⟧ Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 1 mesa y 1 silla, y si esto le conviene a la empresa.

BLOQUE: ANÁLISIS — A.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

• a) ⟦0,8 puntos⟧ La gráfica de la función $g(x)=ax^3+bx+c$ tiene las siguientes características:
  • Pasa por el punto $(0,0)$.
  • Tiene un mínimo relativo en el punto $(1,-1)$.
  Obtén el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
• b) ⟦1 punto⟧ Determina los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x)=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{2}x$, y realiza su representación gráfica.
• c) ⟦0,7 puntos⟧ Halla el área de la región limitada por el eje de abscisas OX, la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{2}x$, y las rectas $x=3$ y $x=4$.

BLOQUE: ANÁLISIS — B.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Se considera la función definida por:

$$f(x)=\begin{cases} 2x^2-8x+6 & \text{si } x\le 1\\ -2x^2+8x-6 & \text{si } x>1 \end{cases}$$

• a) ⟦1,7 puntos⟧ Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
• b) ⟦0,4 puntos⟧ Determina los extremos relativos de la función.
• c) ⟦0,4 puntos⟧ Representa la gráfica de la función.

BLOQUE: PROBABILIDAD — A.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 8 cartas, Lucía le ha dado dos cartas a Carlos y, posteriormente, ha cogido una carta para ella.

Calcula:

• a) ⟦0,4 puntos⟧ La probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
• b) ⟦0,6 puntos⟧ La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
• c) ⟦0,7 puntos⟧ La probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
• d) ⟦0,8 puntos⟧ La probabilidad de que Lucía tenga un rey.

BLOQUE: PROBABILIDAD — B.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Jimena tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro par de color azul y dos pares blancos.

Si decide aleatoriamente qué ponerse, determina las probabilidades de los siguientes sucesos:

• a) ⟦0,3 puntos⟧ Llevar traje rojo y zapatos blancos.
• b) ⟦0,4 puntos⟧ No ir vestida totalmente de blanco.
• c) ⟦0,4 puntos⟧ Llevar zapatos azules.
• d) ⟦0,5 puntos⟧ Llevar zapatos azules o blancos.
• e) ⟦0,4 puntos⟧ Ir vestida totalmente del mismo color.
• f) ⟦0,5 puntos⟧ Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — A.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

El número de horas semanales que las y los estudiantes de bachillerato de una determinada ciudad dedican al deporte es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 8 y varianza 7,29.

Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 36.

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Indica cuál es la distribución de la media muestral, $\bar{X}$.
• b) ⟦1 punto⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de horas semanales que dedican al deporte esté entre 7,82 y 8,36?
• c) ⟦0,75 puntos⟧ En la distribución de la media muestral $\bar{X}$, obtén el intervalo característico para el 99 %.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — B.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En una cierta universidad se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400 estudiantes, y se ha observado que de ellos 160 han aprobado todas las asignaturas.

• a) ⟦1,25 puntos⟧ Estima el porcentaje de estudiantes de esa universidad que aprueban todas las asignaturas, con un nivel de confianza del 97 %.
• b) ⟦0,5 puntos⟧ Calcula el error máximo admisible, con el nivel de confianza indicado.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ A la vista del resultado anterior, se quiere repetir la experiencia para conseguir que el error máximo admisible no sea superior a 0,04, con el mismo nivel de confianza. ¿Cuántos estudiantes, como mínimo, ha de tener la muestra?