Sean las matrices $$A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ -3 & 4\end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1\end{pmatrix}$$, $$C=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}$$.
a) (1 p) Razona qué dimensión deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que los productos $(A\cdot P\cdot B^t)$ y $(Q\cdot A\cdot C)$ den como resultado una matriz cuadrada.
b) (1,5 p) Resuelve la ecuación matricial: $A\cdot X - 2B\cdot C^t = A^t$.

Una empresa de mobiliario para casas de muñecas produce mesas (20 €/u) y sillas (30 €/u). Restricciones: total de unidades $\le 4$; mesa requiere 2 h, silla 3 h, jornada máxima 10 h; material: mesa 4 €, silla 2 €, presupuesto 12 €/día. Sea $x$ n.º de mesas, $y$ n.º de sillas.
a) (2,1 p) Plantea y resuelve el problema de maximización.
b) (0,4 p) Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 1 mesa y 1 silla, y si conviene a la empresa.

a) (0,8 p) La gráfica de $g(x)=ax^3+bx+c$ pasa por $(0,0)$ y tiene un mínimo relativo en $(1,-1)$. Obtén $a,b,c$.
b) (1 p) Determina los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de $f(x)=\tfrac{1}{2}x^3-\tfrac{3}{2}x$ y realiza su representación gráfica.
c) (0,7 p) Halla el área de la región limitada por el eje OX, la gráfica de $f(x)=\tfrac{1}{2}x^3-\tfrac{3}{2}x$ y las rectas $x=3$ y $x=4$.

Sea $$f(x)=\begin{cases}2x^2-8x+6 & \text{si } x\le 1 \\ -2x^2+8x-6 & \text{si } x>1\end{cases}$$.
a) (1,7 p) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
b) (0,4 p) Determina los extremos relativos de la función.
c) (0,4 p) Representa la gráfica de la función.

De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 8 cartas, Lucía da 2 cartas a Carlos y, posteriormente, toma una carta para ella.
a) (0,4 p) P(Carlos tenga dos ases).
b) (0,6 p) P(Carlos tenga un as y un rey).
c) (0,7 p) P(Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes).
d) (0,8 p) P(Lucía tenga un rey).

Jimena tiene 2 trajes rojos, 1 azul y 1 blanco; además 1 par de zapatos rojos, 1 azul y 2 blancos. Elige aleatoriamente qué ponerse.
a) (0,3 p) P(traje rojo y zapatos blancos).
b) (0,4 p) P(no ir totalmente de blanco).
c) (0,4 p) P(zapatos azules).
d) (0,5 p) P(zapatos azules o blancos).
e) (0,4 p) P(ir totalmente del mismo color).
f) (0,5 p) P(zapatos rojos, sabiendo que no va totalmente del mismo color).

$X$ = horas semanales de deporte $\sim N(\mu=8,\ \sigma^2=7{,}29)$. Muestra de $n=36$.
a) (0,75 p) Indica la distribución de la media muestral $\bar X$.
b) (1 p) ¿Cuál es la probabilidad de que $\bar X$ esté entre 7,82 y 8,36?
c) (0,75 p) Halla el intervalo característico para el 99%.

De $n=400$ estudiantes, $160$ han aprobado todas las asignaturas.
a) (1,25 p) Estima el porcentaje de estudiantes de la universidad que aprueban todas las asignaturas con nivel de confianza 97%.
b) (0,5 p) Calcula el error máximo admisible con ese nivel.
c) (0,75 p) Para que el error máximo no supere 0,04 con el mismo nivel, ¿cuántos estudiantes, como mínimo, ha de tener la muestra?