A.1 [hasta 2,5 puntos] — Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1.000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo. a) [2,2 pts] ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir a diario para obtener el máximo ingreso? b) [0,3 pts] ¿Cuál sería dicho ingreso?

B.1 [hasta 2,5 puntos] — a) [1,25 pts] Resuelve el sistema matricial $$\begin{pmatrix} 3 & 1-2x & 0 \\ 2 & x+1 & 2 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$. b) [1,25 pts] Dada $$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$, calcula la matriz $M=A^{t}\cdot A^{-1}$.

A.2 [hasta 2,5 puntos] — a) [0,75 pts] Sea $f(x)=a x^3+3x^2-5x+b$. Halla los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(1,-3)$ y tiene un punto de inflexión en $x=-1$. b) [1 pt] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función $g(x)=x^3-3x^2+7$. c) [0,75 pts] Calcula el área de la región delimitada por la función $g(x)$, el eje OX y las rectas $x=1$, $x=2$; y haz su representación gráfica.

B.2 [hasta 2,5 puntos] — La función de costes de una empresa (en miles de euros) es $f(x)=40-6x+x^2$, con $x\ge 0$, donde $x$ es la cantidad producida. a) [0,75 pts] ¿Disminuye el coste alguna vez? b) [0,5 pts] Determina la cantidad producida cuando el coste es mínimo y su coste mínimo. c) [0,25 pts] ¿Cuál sería el coste si no se produjera nada? d) [0,75 pts] Si el coste fuera 80.000 €, ¿cuál sería la cantidad producida? e) [0,25 pts] Representa gráficamente la función.

A.3 [hasta 2,5 puntos] — Sean $A, B, C, D, E$ sucesos de un experimento aleatorio. a) [0,75 pts] Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(B)=0{,}3$ y $P(A\cup B)=0{,}5$. Calcula la probabilidad de que ocurran A y B. b) [1 pt] Sabemos que $P(C)=0{,}5$; $P(D)=0{,}6$ y $P(C\cup D)=0{,}7$. Calcula la probabilidad de que ocurra C sabiendo que ha ocurrido D. c) [0,75 pts] Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(E)=0{,}6$ y que A y E son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

B.3 [hasta 2,5 puntos] — En una caja hay una bola roja y una azul. Se extrae una bola; antes de sacar la segunda, se devuelve la primera añadiendo otras dos bolas del mismo color. Después se extrae una segunda bola. a) [0,5 pts] Probabilidad de que la segunda extraída sea roja si la primera fue azul. b) [1,25 pts] Probabilidad de que la segunda extraída sea azul. c) [0,75 pts] Si la segunda ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido roja?

A.4 [hasta 2,5 puntos] — En un determinado mes el tiempo diario de conexión a Internet del alumnado de una universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y varianza 144 minutos². a) [1 pt] Obtén el intervalo característico para el 80 %. b) [0,3 pts] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos? c) [0,8 pts] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos? d) [0,4 pts] Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de conexión sea inferior a 207 minutos?

B.4 [hasta 2,5 puntos] — Para estimar el coeficiente intelectual medio de los estudiantes de cierta universidad se toma una muestra aleatoria de tamaño 100, de la que se obtiene $\bar x=98$ puntos y $s=15$ puntos. Hemos hecho la siguiente afirmación: 'El coeficiente intelectual medio de los estudiantes de esta universidad está entre 94,5 y 101,5 puntos'. ¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?