BLOQUE: ÁLGEBRA

A.1 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1.000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo.

a) ⟦ 2,2 puntos⟧ ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir a diario para obtener el máximo ingreso?

b) ⟦ 0,3 puntos⟧ ¿Cuál sería dicho ingreso?

B.1 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

a) ⟦ 1,25 puntos⟧ Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b) ⟦ 1,25 puntos⟧ Dada la matriz $$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$$, calcula la matriz:

BLOQUE: ANÁLISIS

A.2 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

a) ⟦ 0,75 puntos⟧ Sea la función $f(x)=ax^3+3x^2-5x+b$. Halla los valores de los coeficientes $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(1,-3)$ y tiene un punto de inflexión en $x=-1$.

b) ⟦ 1 punto⟧ Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función $g(x)=x^3-3x^2+7$.

c) ⟦ 0,75 puntos⟧ Calcula el área de la región delimitada por la función $g(x)$, el eje de abcisas OX y las rectas $x=1$, $x=2$; y haz su representación gráfica.

B.2 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:

donde "$x$" representa la cantidad producida de un determinado artículo.

a) ⟦ 0,75 puntos⟧ ¿Disminuye el coste alguna vez?

b) ⟦ 0,5 puntos⟧ Determina la cantidad producida de este artículo cuando el coste es mínimo y calcula cuál es dicho coste.

c) ⟦ 0,25 puntos⟧ ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo?

d) ⟦ 0,75 puntos⟧ Si el coste fuera 80.000 €, ¿cuál sería la cantidad producida?

e) ⟦ 0,25 puntos⟧ Representa gráficamente la función.

BLOQUE: PROBABILIDAD

A.3 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

Sean $A,B,C,D$ y $E$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a) ⟦ 0,75 puntos⟧ Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(B)=0{,}3$ y $P(A\cup B)=0{,}5$. Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$.

b) ⟦ 1 punto⟧ Sabemos que $P(C)=0{,}5$; $P(D)=0{,}6$ y $P(C\cup D)=0{,}7$. Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$.

c) ⟦ 0,75 puntos⟧ Sabemos que $P(A)=0{,}4$; $P(E)=0{,}6$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

B.3 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se extraen dos bolas de la caja como se explica a continuación: se extrae una bola, y antes de sacar la segunda se devuelve a la caja la primera bola extraída, añadiendo otras dos bolas del mismo color. A continuación, se extrae una segunda bola.

a) ⟦ 0,5 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado ha sido azul.

b) ⟦ 1,25 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.

c) ⟦ 0,75 puntos⟧ Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA

A.4 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

En un determinado mes el tiempo diario de conexión a Internet del alumnado de una cierta universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y de varianza 144 minutos$^2$.

a) ⟦ 1 punto⟧ Obtén el intervalo característico para el 80%.

b) ⟦ 0,3 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos?

c) ⟦ 0,8 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos?

d) ⟦ 0,4 puntos⟧ Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de conexión a Internet sea inferior a 207 minutos?

B.4 ⟦ hasta 2,5 puntos⟧

Para estimar el coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de cierta universidad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores: $\bar{x}=98\;\text{puntos}$ y $s=15\;\text{puntos}$.

Hemos hecho la siguiente afirmación: «El coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de esta universidad está entre 94,5 puntos y 101,5 puntos».

¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?