BLOQUE: ÁLGEBRA — A.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En un examen de matemáticas que constaba de tres problemas, Aitor obtuvo una calificación total de 7,2 puntos.

La puntuación obtenida en el primer problema fue un 40 % más que la obtenida en el segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en el primero y en el segundo.

¿Cuál fue la puntuación obtenida por Aitor en cada problema?

BLOQUE: ÁLGEBRA — B.1 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Una pastelería elabora dos tipos de trufas: dulces y amargas. Cada trufa dulce lleva 20 gr de cacao, 20 gr de nata y 30 gr de azúcar y se vende a 1 € la unidad. Cada trufa amarga lleva 100 gr de cacao, 20 gr de nata y 15 gr de azúcar y se vende a 1,3 € la unidad.

Un día determinado, la pastelería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10,5 kg de azúcar.

Sabiendo que se vende todo lo que se elabora:

• a) ⟦2,2 puntos⟧ ¿Cuántas trufas de cada tipo deben elaborarse ese día para maximizar los ingresos?
• b) ⟦0,3 puntos⟧ ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?

BLOQUE: ANÁLISIS — A.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Sea $f(x)$ una función polinómica de tercer grado, en la que el coeficiente del término de grado tres vale 1.

• a) ⟦1 punto⟧ Encuentra los valores de los otros coeficientes de la función sabiendo que pasa por el punto $(0,0)$ y que tiene un extremo relativo en el punto $(2,-4)$.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Determina los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función $f(x)=x^3-3x^2$.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula el área de la región finita delimitada por el gráfico de la función $f(x)=x^3-3x^2$ y el eje de abscisas.

BLOQUE: ANÁLISIS — B.2 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

a) ⟦0,9 puntos⟧ Asocia, razonadamente, las funciones:

$A)\;f(x)=\dfrac{x-1}{x}\;;\quad B)\;g(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\;;\quad C)\;h(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$

con las siguientes representaciones gráficas (1), (2) y (3) que se muestran en el examen.

b) ⟦1,6 puntos⟧ En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio, el recorrido y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

BLOQUE: PROBABILIDAD — A.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

Asier tiene una urna con 4 bolas verdes y dos rojas. Lanza una moneda y si sale cara extrae una bola de la urna, y si sale cruz extrae dos bolas, sin reemplazamiento, de la urna.

• a) ⟦0,5 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que Asier haya extraído dos bolas rojas?
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula probabilidad de que no haya extraído ninguna bola roja.
• c) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que al menos haya sacado una bola verde.
• d) ⟦0,5 puntos⟧ Calcula la probabilidad de que haya salido cara sabiendo que al menos una bola es verde.

BLOQUE: PROBABILIDAD — B.3 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En cierto barrio hay dos pastelerías. El 40 % de la población compra en la pastelería A, el 25 % en la pastelería B, y el 15 % en ambas.

Se escoge una persona al azar:

• a) ⟦0,8 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona compre en la pastelería A y no compre en la pastelería B?
• b) ⟦0,35 puntos⟧ Si esta persona es cliente de la pastelería A, ¿cuál es la probabilidad de que también sea cliente de la pastelería B?
• c) ⟦0,35 puntos⟧ ¿Cuál es la probabilidad de que no sea cliente ni de la pastelería A ni de la B?
• d) ⟦1 punto⟧ ¿Son independientes los sucesos “ser cliente de A” y “ser cliente de B”? Justifica tu respuesta.

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — A.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

En un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales el 35 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 6,8 puntos. Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 5,8 puntos.

• a) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Si la desviación típica es 2,6 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?
• c) ⟦1 punto⟧ Si la desviación típica es 2,6 puntos y el Apto se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha conseguido ser apto en el examen?

BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA — B.4 ⟦hasta 2,5 puntos⟧

De 1.000 jóvenes vascos de 25 años elegidos al azar sólo 140 no vivían con sus padres.

• a) ⟦1,25 puntos⟧ Estima, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de la población de jóvenes vascos de 25 años que viven con sus padres.
• b) ⟦0,75 puntos⟧ Calcula el error máximo admisible para dicho nivel de confianza.
• c) ⟦0,5 puntos⟧ Interpreta los resultados obtenidos.