PROBLEMA 1 [2,5 puntos] — La elaboración de tapices es un arte que se transmite de generación en generación. Para planificar la producción, un fabricante egipcio dispone en un determinado mes de 50 kg de hilo de seda, 40 kg de hilo de plata y 22,5 kg de hilo de oro. Para fabricar un metro lineal del tipo A se necesitan 100 g de seda y 200 g de plata; para cada metro lineal del tipo B, 200 g de seda, 100 g de plata y 100 g de oro. El metro lineal del tipo A se vende a 2.000 €, y del tipo B a 3.000 €. Si se vende todo lo que se fabrica: a) [1,6 pts] ¿Cuántos metros lineales de cada tipo deben elaborarse ese mes para maximizar los ingresos? b) [0,3 pts] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo? c) [0,6 pts] ¿Qué cantidades de hilo de seda, plata y oro quedarán cuando se fabriquen los metros lineales óptimos?

APARTADO 2.1 [2,5 puntos] — Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa en latas de 250 g, B en latas de 500 g y C en latas de 1 kg. Se venden a 1, 1,8 y 3,3 €, respectivamente. Compramos 20 latas con un peso total de 10 kg y un valor total de 35,6 €. a) [1 pt] Plantea el sistema de ecuaciones. b) [1,5 pts] Resuelve el problema.

APARTADO 2.2 [2,5 puntos] — Dada la matriz $$A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$. a) [0,6 pts] Calcula, razonadamente, el valor de $a$ para que el determinante de $A^2(a)$ valga 4. b) [1 pt] Comprueba si la matriz $A(a)$ es regular (invertible) para los valores obtenidos. Si es regular para $a=2$, calcula $A^{-1}(a)$. c) [0,9 pts] Determina la matriz $M=A^t(2)\cdot A^{-1}(2)$ y el valor de su determinante.

APARTADO 3.1 [2,5 puntos] — Las funciones $E(x)$ y $D(x)$ representan, respectivamente, el rendimiento (m² pintados por hora) de dos pintores, Eneko y Deiene, durante un día de 8 horas, dadas por $E(x)=-x^2+19x+66$ y $D(x)=-x^2+5x+150$, con $0\le x\le 8$. a) [0,3 pts] ¿Qué pintor tiene mejor rendimiento inicial? b) [0,6 pts] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Eneko? ¿Cuándo se da? c) [0,5 pts] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Deiene? ¿Cuándo se da? d) [0,3 pts] ¿Cuándo tienen ambos el mismo rendimiento? e) [0,8 pts] Al final de la jornada, ¿cuántos m² ha pintado Deiene en total?

APARTADO 3.2 [2,5 puntos] — Sea la función $f(x):(0,\infty)\to\mathbb R$ definida como $f(x)=a\,x^2+\dfrac{b}{x}$. Sabemos que la recta $y=-2$ es la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$. a) [1,25 pts] Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$. b) [0,75 pts] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, cuando $a=b=-1$. c) [0,5 pts] Para $a=b=-1$, ¿tiene la función algún máximo o mínimo relativo? En caso afirmativo, determínalo.

APARTADO 4.1 [2,5 puntos] — Una bolsa contiene tres cartas del mismo tamaño con caras de diferentes colores. Una carta es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras. a) [1 pt] ¿Cuál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? b) [1,5 pts] Si la cara mostrada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja?

APARTADO 4.2 [2,5 puntos] — Iker dispone de dos días para preparar un examen. La probabilidad de estudiar solamente el primer día es del 10 %, la de estudiar los dos días es del 10 %, y la de no estudiar ningún día es del 25 %. Calcula: a) [0,75 pts] La probabilidad de estudiar el segundo día. b) [1 pt] La probabilidad de estudiar solamente el segundo día. c) [0,75 pts] La probabilidad de estudiar el segundo día sabiendo que no ha estudiado el primero.

APARTADO 5.1 [2,5 puntos] — En un determinado año, la nota PAU del alumnado preinscrito en Arquitectura Técnica sigue $\mathcal N(6{,}8;\,0{,}6)$ y la del alumnado preinscrito en Biomedical Engineering sigue $\mathcal N(7;\,0{,}5)$. En ambos casos solo se puede admitir al 25 % con las mejores calificaciones. Yolanda obtuvo 7,25 puntos y Teresa 7,45 puntos, ¿a qué grados tendrán opción de acceso?

APARTADO 5.2 [2,5 puntos] — La estatura $X$ (en cm) del personal del servicio foral de extinción de incendios y salvamento sigue $\mathcal N(\mu,\sigma^2=169)$. A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 81 se estima la media en 175 cm. a) [0,4 pts] Indica la distribución de la media muestral $\bar X$. b) [0,75 pts] ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura media esté entre 172 y 182 cm? c) [0,75 pts] Obtén el intervalo característico para el 99 %. d) [0,6 pts] Si se quiere estimar la estatura media con error máximo 2 cm y nivel de confianza 94 %, ¿cuántas personas se tendrán que escoger?