Examen PAU Matemáticas II — Extraordinaria 2020

PRIMERA PARTE — Ejercicio A1. Discutir, en función de $A$, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible:

PRIMERA PARTE — Ejercicio B1. Dada la matriz $$M=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}$$, calcular razonadamente $M^{2020}$.

SEGUNDA PARTE — Ejercicio A2. Dada la recta$$r\equiv\begin{cases}3x+y-z=2\\ 2x+y+4z=1\end{cases},\ \text{y el plano}\ \pi:\ 3x+(\alpha+1)(y+1)+\alpha z=1,$$

a) hallar $\alpha$ para que la recta y el plano sean paralelos.

b) determinar si el punto $P=(1,1,2)$ pertenece al plano hallado en a).

SEGUNDA PARTE — Ejercicio B2. Hallar el punto $Q$, simétrico de $P=(1,2,3)$ respecto al plano de ecuación $x+y+z=0$, explicando los pasos seguidos para su cálculo.

TERCERA PARTE — Ejercicio A3. Sea $f$ la función definida como sigue:$$f(x)=\begin{cases}ax^2+3x, & x\leq 2,\\ x^2-bx-4, & x>2.\end{cases}$$Calcular $a$ y $b$ razonadamente, sabiendo que $f$ es derivable en toda la recta real.

TERCERA PARTE — Ejercicio B3. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)=x^2e^{2x}$. Encontrar sus extremos.

CUARTA PARTE — Ejercicio A4. Representar la región finita del plano limitada por la curva $y=3-x^2$ y por la recta $y=2x$. Calcular su área.

CUARTA PARTE — Ejercicio B4. Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular la integral$$\int x\cos(3x)\,dx.$$

QUINTA PARTE — Ejercicio A5. Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal $N(10;\,0{,}1)$. Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre $9{,}8$ y $10{,}1$. Calcular:

a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.

b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?

QUINTA PARTE — Ejercicio B5. En un instituto el 40 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 35 por ciento tiene los ojos azules y el 15 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?

b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?