Discutir, en función de $A$, el sistema que sigue y resolver cuando sea posible: $$S=\begin{cases} x+y+z = 2A \\ 3x+3y+4z = 2 \\ 4x+4y+Az = 4A \end{cases}$$

Dada la matriz $$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$, calcular razonadamente $M^{2020}$.

Dada la recta $$r:\begin{cases} 3x+y-z=2 \\ 2x+y+4z=1 \end{cases}$$ y el plano $\pi: 3x+(a+1)(y+1)+az=1$. a) Hallar $a$ para que la recta y el plano sean paralelos. b) Comprobar si $P(1,2,3)$ pertenece al plano $\pi$ hallado en a).

Hallar el punto $Q$, simétrico de $P(1,2,3)$ respecto al plano $x+y+z=1$, explicando los pasos seguidos.

Sea la función definida como $$f(x)=\begin{cases} ax^2+3x, & x\le 2 \\ x^2-bx-4, & x>2 \end{cases}$$. Calcular $a$ y $b$ razonadamente, sabiendo que $f$ es derivable en toda la recta real.

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)=x^2 e^{2x}$. Encontrar sus extremos.

Representar la región finita del plano limitada por la curva $y=3-x^2$ y por la recta $y=2x$. Calcular su área.

Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular la integral $\int x\cos(3x)\,dx$.

Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal $N(10, 0{,}1)$. Un recipiente se considera defectuoso si su capacidad no está entre $9{,}8$ y $10{,}1$. a) Probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso. b) Si se han fabricado 1.500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?

En un instituto, el 40% tiene el cabello castaño, el 35% tiene los ojos azules, y el 15% tiene cabello castaño y ojos azules. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene el cabello castaño, ¿probabilidad de que tenga los ojos azules? b) Si tiene los ojos azules, ¿probabilidad de que no tenga cabello castaño? c) ¿Probabilidad de que no tenga cabello castaño ni ojos azules? d) ¿Probabilidad de que tenga cabello castaño o los ojos azules?