PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A1. Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en funcion de los valores del parametro $\alpha$: $$\begin{cases} x + y + \alpha z = \alpha \\ 2x + \alpha y + \alpha z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \end{cases}$$ Resuelve el sistema para $\alpha=-1$ y $\alpha=1$, si es posible.

PRIMERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B1. Sea la matriz $$A=\begin{pmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m-2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$. (a) Determina para que valores del parametro $m$ la matriz $A$ no tiene inversa. (b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $m=0$.

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A2. Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones parametricas son: $$r\equiv\begin{cases} x=t \\ y=2t \\ z=0 \end{cases}$$ y el plano $\pi\equiv x+y+z-2=0$. Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. Es unico dicho punto? Contesta razonadamente.

SEGUNDA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B2. Sean el punto $P=(1,2,a)$, donde $a\neq 0$, y el plano $\pi\equiv x+y+2z=3$. Halla las coordenadas del punto simetrico de $P$ respecto al plano $\pi$.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A3. Dada la funcion $f(x)=(x-1)^2 e^{-2x}$, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus maximos y minimos.

TERCERA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B3. Sea $f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$. Encuentra los valores de los parametros $A, B$ y $C$ para que $f$ se anule en el punto de abscisa $x=1$ y las rectas tangentes a la grafica de $f$ en los puntos de abscisa $x=-1$ y $x=3$ sean paralelas a la recta $y=2x+1$.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A4. Calcula $\displaystyle\int \dfrac{7x+13}{(x+1)(x^2-x-2)}\,dx$.

CUARTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B4. Dibuja el recinto limitado por las graficas de las funciones $f(x)=e^x$, $g(x)=e^{-x}$ y la recta horizontal $y=e$, y calcula el area de ese recinto.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio A5. Tenemos dos urnas con el siguiente numero de bolas blancas y negras: T: 4 bolas negras y 6 blancas; R: 7 bolas negras y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuacion, se extrae una bola de esta ultima urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraidas: (a) sean negras, (b) sean blancas, (c) sean de distinto color.

QUINTA PARTE (2,5 puntos). Ejercicio B5. El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribucion normal de media 52 y desviacion tipica 6,5. (a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada este comprendida entre 50 y 68 gramos. (b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesa mas que una pieza dada, cuanto pesa esta ultima?